Fundamental ketma-ketliklar

limit (f(x),x=infinity),
limit (f(x),x=+infinity),
limit (f(x),x= -infinity)
operatorlar yordamida topiladi.

Shunga o’xshash f(x)= larni ham ta’riflash mumkin.

Limitga ega bo’lgan funksiyalarning sodda xossalari.
1⁰. Agar f(x)=b bo’lib, b>p (bbo’lsa, u holda x ning a ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x)>p (f(x) bo’ladi.
Hususiy holda, f(x)=b bo’lib, b>0 (b<0) bo’lsa, x ning a ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x)>0 (f(x)<0 ) bo’ladi.
Bu xossaning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning mos xossasidan kelib chiqadi.
2⁰. Agar chekli f(x)=b mavjud bo’lsa, a ning yetarlicha kichik atrofida f(x) funksiya chegaralangan bo’ladi.
Isbot. Ta’rifga ko’ra har bir >0 uchun >0 topilib, x ning 0<|x-a|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida |f(x)-b|< tengsizlik o’rinli bo’ladi.
|f(x)-b|< b- demak, f(x) funksiya x ning (a- ;a+ ) atrofida chegaralangan.
3⁰. Agar x ning a nuqtaning biror (a- ;a+ ) atrofidan olingan barcha qiymatlarida
f(x) g(x) h(x)
tengsizlik o’rinli hamda f(x), h(x) limitlar mavjud bo’lib, f(x)= h(x)=b bo’lsa, u holda g(x)=b bo’ladi.
Bu xossaning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning xossasidan kelib chiqadi.
Teorema. (limitning yagonaligi haqida ). Agar f(x) funksiya x a da limitga ega bo’lsa, bu limit yagona bo’ladi.
Isboti ketma-ketlikdagi kabi ko’rsatiladi.
Teorema . Agar va bo’lsa, u holda
a)
b)
c)
Bu xossalarning isboti limitning Geyne ta’rifi hamda yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning arifmetik xossalaridan bevosita kelib chiqadi.
Misollar.
 1. ;
Bu tenglik Maple yordamida quyidagicha tekshiriladi:
>limit((x^2-2*x+1)/(x^3-x),x=1);
0