Fundamental ketma-ketliklar

Fundamental ketma-ketliklar. Koshi teoremasi.

Reja:
1. Qismiy ketma-ketlik.
2. Bol’tsano-Veyershtrass teoremasi.
3. Koshi kriteriyasi (ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishligining zaruriy va yetarli sharti)

X sonli to’plam berilgan bo’lsin.

Ta’rif. a nuqtaning ixtiyoriy atrofida X to’plamning a dan farqli kamida bitta nuqtasi mavjud bo’lsa, u holda a nuqta X to’plamning limit nuqtasi deyiladi.
Ravshanki, a limit nuqtaning ixtiyoriy atrofida X to’plamning cheksiz ko’p nuqtalari mavjud bo’ladi.
Misol.1. [0;5] to’plamning har bir nuqtasi uning limit nuqtasi bo’ladi, boshqa limit nuqtalari yo’q.
2. (0;5) interval uchun [0;5] segmentning barcha nuqtalari limit nuqta bo’ladi.
Bu misollardan ko’rinadiki to’plamning limit nuqtasi uning elementi bo’lishi ham bo’lmasligi ham mumkin.
3. ={1,2,3,...,n,...} to’plam limit nuqtaga ega emas.
Agar a - X to’plamning limit nuqtasi bo’lsa, u holda X to’plamdan a ga yaqinlashuvchi (x_n) ketma-ketlik ajratib olish mumkinligini ko’rsatamiz (yani x_n X, x_n a).
a nuqta X to’plamning limit nuqtasi bo’lganligi uchun a nuqtaning har bir (a-1/n; a+1/n ) atrofida X to’plamning a dan farqli kamida bitta x_n nuqtasi mavjud. Ya’ni | x_n -a|<1/n, n=1,2,...
Ravshanki, ixtiyoriy >0 uchun shunday n₀ topilib, barcha n>n₀ larda 1/n< (ya’ni
|x_n-a|< ) bo’ladi. Bundan x_n=a kelib chiqadi.
Ixtiyoriy son uchun ( ) interval  “nuqta”ning atrofi, ( ) interval - “nuqta”ning atrofi deyiladi.
+ ,- “nuqta”larning limit nuqta bo’lishi yuqoridagi singari ta’riflanadi.
Bu holda ham x_n =+ ( x_n =- ) bo’ladigan (x_n) ketma-ketlik ajratib olish mumkin.