Fundamental ketma-ketliklar

Funksiya limitining ta’riflari.
y=f(x) funksiya X to’plamda berilgan, a nuqta X to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.
Ta’rif (Geyne). Agar X to’plamdan olingan a ga intiluvchi (x_n) ketma-ketlik qanday bo’lmasin, funksiya qiymatlaridan tuzilgan (f(x_n)) ketma-ketlik hamma vaqt yagona b (chekli yoki cheksiz) limitga intilsa, b son f(x) funksiyaning a nuqtadagi limiti deb ataladi.
Funksiya limiti f(x)=b kabi belgilanadi, ba’zan x a da f(x) b ko’rinishda yoziladi.
Misol. 1. f(x)=3-x² funksiyaning x 1 dagi limiti 2 ekanligini ko’rsating.
x_n 1 va x_n =1 bo’ladigan (x_n) ketma-ketlik olaylik.
U holda f(x_n)= (3-x )= 3- x =3-1=2. Demak, ta’rifga ko’ra (3-x²)=2.
2. , da limitga ega emas. Haqiqatdan da limiti 0 bo’lgan turli
ketma-ketliklarni olaylik.
Ammo: ; . Bunda va
Bu esa funksiyaning nolda limiti mavjud emasligini ko’rsatadi.
Funksiya limitini boshqacha ham ta’riflash mumkin.
Ta’rif (Koshi). Agar har bir >0 son uchun shunday >0 son topilib, x X ning 0<|x-a|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)-b|< tengsizlik o’rinli bo’lsa, b son f(x) funksiyaning a nuqtadagi limiti deb ataladi.
Ya’ni .







b

Shuni aytish joizki, funksiya limitining Koshi va Geyne ta’riflari o’zaro tengkuchli.

. Maple dasturida f(x) limit (f(x),x=a) operator yordamida topiladi.
Ta’rif. Agar har bir M>0 son uchun shunday >0 son topilib, x ning 0<|x-a|< tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida |f(x)|>M tengsizlik o’rinli bo’lsa, f(x) funksiyaning a nuqtadagi limiti deyiladi. Agar x ning a ga yetarlicha yaqin qiymatlarida f(x)>0 (f(x)<0) bo’lsa, u holda f(x)=+ ( f(x)=- ) bo’ladi.
Quyidagi hollar ham qaralishi maqsadga muvofiq:
1) , 2) , 3)

№	Intilish turi	atrof ko’rinishi
1
2
3

Shulardagi intilish turlarining ixtiyoriysini simvolik ravishda kabi yozamiz, unga mos bo’lgan atrofni esa orqali belgilaymiz. U holda chekli ta’rifini har bir intilish turiga berish mumkin: .

. Maple dasturida f(x) , f(x) va f(x) mos ravishda