Fundamental ketma-ketliklar

Ketma-ketlikning yaqinlashuvchi bo’lishligining zaruriy va yetarli sharti.
Bizga (x_n) ketma-ketlik berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Agar har bir >0 uchun shunday n₀ son mavjud bo’lib, barcha n>n₀ va barcha m>n₀ lar uchun |x_n-x_m|< tengsizlik o’rinli bo’lsa, (x_n) fundamental ketma-ketlik deyiladi.
“Ixtiyoriy ketma-ketlik qanday shartda yaqinlashuvchi?” degan savolga quyidagi teorema javob beradi.
Teorema (Koshi kriteriyasi). Ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun uning fundamental bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Faraz qilaylik (x_n) ketma-ketlik chekli c limitga ega bo’lsin. Limit ta’rifiga asosan har bir >0 son uchun shunday n₀ nomer topilib, barcha n>n₀ va m>n₀ larda va tengsizliklar o’rinli bo’ladi.

Shu bilan zaruriylik isbotlandi.
Yetarliligi. (x_n) fundamental ketma-ketlik bo’lsin. Ya’ni olingan >0 uchun n₀ nomer topilib, n>n₀ va m>n₀ lar uchun |x_n-x_m|< tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan x_m- _nm+ ko’shtengsizlikni hosil qilish mumkin. m ning tayin qiymatini olib sonlarning eng kattasini M deb olsak, ixtiyoriy n lar uchun | x_n | M bo’lib, (x_n) ketma-ketlikning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. Bol’tsano-Veyershtrass teoremasiga binoan (x_n) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi (x ) qism ketma-ketlikni ajratib olish mumkin: =c.
c sonni (x_n) ketma-ketlikning ham limiti ekanligini ko’rsatamiz. k ni shunday tanlaymizki, natijada n_k>n₀ va bo’lsin. tengsizlikda m=n_k deb olsak, bo’lib,
+ =
hosil bo’ladi. Demak, =c. Teorema isbotlandi.