Fredholm teoremalari

20.4-teorema.



chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo‘lishi uchun vektor qo‘shma bir jinsli



tenglamaning barcha yechimlariga ortogonal bo‘lishi yetarli va zarurdir.

20.5-teorema. Agar matritsaning determinanti noldan farqli bo‘lsa, u holda tenglama iхtiyoriy uchun yagona yechimga ega. Agar matritsaning determinanti nolga teng bo‘lsa, u holda bir jinsli tenglama noldan farqli yechimga ega.

20.6-teorema. va matritsalarning ranglari o‘zaro teng bo‘lgani uchun, bir jinsli va sistemalarning chiziqli erkli yechimlari soni o‘zaro teng.

Ko‘rinib turibdiki, ajralgan yadroli Fredholm tenglamalari uchun Fredholmning teoremalari yuqoridagi teoremalar-dan kelib chiqadi.

20.1-misol. operatorni fazoda quyidagicha aniqlaymiz

Bu operatorni o‘z-o‘ziga qo‘shma va kompaktlikka tekshiring, uning xos qiymat va xos funksiyalarini toping.

Yechish. Qaralayotgan operatorning yadrosi

haqiqiy qiymatli va (19.8) shartni qanoatlantiradi. Demak, o‘z-o‘ziga qo‘shma operator ekan. Integral operator ning yadrosi (19.5) shartni qanoatlantiradi, shuning uchun 19.2-teoremaga ko‘ra kompakt operator bo‘ladi. Endi operatorning xos qiymatlarini topamiz. Buning uchun xos qiymatga nisbatan tenglama yozamiz:

Bundan

tenglikka kelamiz.

i). Agar (20.16) tenglikda bo‘lsa, u holda funksiyalarning chiziqli erkli ekanligidan quyidagi

tengliklarga ega bo‘lamiz. (20.17) tengliklar funksiyaning elementlarga ortogonal ekanligini bildiradi. Ma’lumki fazoda bu elementlarga ortogonal bo‘lgan cheksiz ko‘p chiziqli erkli elementlar mavjud, bular:

Demak, tenglama cheksiz ko‘p chiziqli erkli yechimlarga ega ekan. Bu esa o‘z navbatida soni operator uchun cheksiz karrali xos qiymat ekanligini bildiradi.

ii). Agar (20.16) tenglikda bo‘lsa, u holda xos funksiya uchun quyidagi ko‘rinishni olamiz

Bu yerda

ning (20.18) ifodasini (20.19) ga qo‘yib, larga nisbatan quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz:

Biz bu yerda funksiyalar sistemasining ortogonal ekanligidan hamda

ayniyatlardan foydalandik. (20.20) tenglamalar sistemasi nolmas yechimga ega bo‘lishi uchun, uning determinanti

bo‘lishi zarur va yetarli.

Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Bu holda (20.20) dan va ixtiyoriy son ekanligini olamiz. Endi (20.18) dan xos funksiya bo‘lishiga kelamiz.

Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Bu holda (20.20) dan va ixtiyoriy son bo‘ladi. (20.18) dan esa xos funksiya uchun ko‘rinishni olamiz.

Xuddi shunday xos qiymatga mos keluvchi xos funksiya ekanligini olamiz.

Shunday qilib, biz (20.15) formula bilan aniqlangan operatorning o‘z-o‘ziga qo‘shma ekanligini ko‘rsatib, uning barcha xos qiymatlari va xos funksiyalarini topdik. cheksiz karrali xos qiymat, qolgan va sonlar bir karrali xos qiymatlar ekan.

20.2. Parametr ning qanday qiymatlarida

(20.21)

tenglama ixtiyoriy da yagona yechimga ega bo‘ladi. Bu yerda operator (20.15) tenglik bilan aniqlanadi.