Fredholm teoremalari

20.1-lemma. Shunday natural son mavjudki, barcha uchun

tenglik o‘rinli.

Isbot. Teskaridan faraz qilaylik, hamma fazolar har хil bo‘lsin. Bu holda shunday ortonormal sistema mavjudki, va Demak, iхtiyoriy sonlar uchun

Bu yerda bo‘lgani uchun

ya’ni ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Bu esa operatorning kompaktligiga zid.

20.2-teorema. (Fredholm alternativasi). Yo (20.2) tenglama iхtiyoriy uchun yagona yechimga ega, yo (20.3) tenglamaning noldan farqli yechimi mavjud.

Isbot. Agar bo‘lsa (ya’ni (20.3) tenglama noldan farqli yechimga ega bo‘lmasa), u holda o‘zaro bir qiymatli akslantirishdir. Shuning uchun, agar deb faraz qilsak, u holda munosabatlar iхtiyoriy uchun o‘rinlidir. Bu esa 20.1-lemmaga zid. Demak, ya’ni (20.2) tenglama iхtiyoriy uchun yagona yechimga ega.

Agar (20.2) tenglama iхtiyoriy uchun yagona yechimga ega bo‘lsa, u holda va (20.7) munosabatga asosan Bu tenglikdan yuqoridagidek munosabat kelib chiqadi. Endi (20.6) munosabatdan foydalansak, ya’ni (20.3) tenglama faqat nol yechimga ega ekanligi kelib chiqadi.

20.3-teorema. va tenglamalarning chiziqli erkli bo‘lgan yechimlari soni chekli va o‘zaro tengdir. Boshqacha qilib aytganda,



Isbot. fazoning o‘lchami cheksiz deb faraz qilaylik. Bu holda da cheksiz elementli ortonormal sistema mavjud. ya’ni bo‘lgani sababli, Demak,

Bu yerdan kelib chiqadiki, ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Bu esa ning kompaktligiga zid. Shunday qilib, ekan. Xuddi shunday ekanligi isbotlanadi. Faraz qilaylik,

bo‘lib, bo‘lsin. Endi va fazolardan mos ravishda

va

ortonormal basizlarni tanlab olamiz va

operatorni qaraymiz. operator operatorga chekli o‘lchamli operatorni qo‘shish natijasida hosil bo‘lgani sababli, operator uchun ham yuqorida uchun isbotlangan barcha tasdiqlar o‘rinli. Bu operator uchun tenglama faqat nol yechimga ega. Haqiqatan ham,

bo‘lsin, u holda (20.7) munosabatga asosan Bu yerdan va (20.8) tenglikdan

va

ga ega bo‘lamiz. sistemaning ortogonalligidan (chiziqli erkliligidan) hamda (20.9) dan barcha larda

tengliklarni olamiz. Shunday qilib, bir tomondan ya’ni vektor vektorlarning chiziqli kombinatsiyasidir, ikkinchi tomondan, bu vektorlarga ortogonal. Bundan Demak, 20.2-teoremani operatorga qo‘llagan holda deb olsak,



tenglama biror yechimga ega bo‘ladi. Bu tenglikning ikkala qismini vektorga skalyar ko‘paytirsak, ziddiyat hosil bo‘ladi (chunki va ). Demak, farazimiz ziddiyatga olib keldi, ya’ni ekan. Xuddi shunday, operator o‘rniga operator olinsa, tengsizlik isbotlanadi. Demak,

Yuqoridagi teoremalarda biz operatorga teskari operatorning mavjudlik shartlarini ko‘rdik. Ravshanki, 20.1-20.3-teoremalar operatorlar uchun ham o‘rinlidir. Fredholm teoremalaridan quyidagi natija kelib chiqadi.