Ideal suyuqlikning harakat tenglamasi. Ideal suyuqlikning harakat tenglamasini olish uchun kuchlanishlarga nisbatan harakat tenglamasida urinma kuchlanishlardan hosilalarni nolga tenglashtirib, normal kuchlanishlarni esa bosim bilan almashtirib, ya’ni deb olish zarur bo‘ladi. Shunday qilib, gidrodinamika tenglamasi koordinat o‘qlaridagi proeksiyalarga nisbatan quyidagicha yoziladi:
Bu (6.1) tenglamalar sistemasi gidrodinamika uchun Eylerning differensial tenglamalari sistemasi deb ataladi. Bu tenglama harakatdagi suyuqlikning tezligi va bosimi o‘rtasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. (6.1) tenglamalar sistemasining o‘ng tarafidagi ifoda to‘la yoki substansional hosilani beradi. Tezlanishning konservativ hadlari mavjudligi bu sistemaning to‘rtta noma’lumni (tezlikning uchta proeksiyasi va bosimni) o‘z ichiga olgan nochiziqli tenglamalar sistemasi ekanligini bildiradi. Birlik massaviy kuchlarning proeksiyalari odatta masalaning qo‘yilishidan ma’lum bo‘ladi.
Ideal suyuqlik gidrodinamikasining tenglamalari sistemasi. Muhitning harakati bilan uning xossalari uzatiladi – bu gidrodinamik tenglamalar bilan tavsiflanayotgan eng muhim jarayonlardan biri.
Yuqoridagilarni e’tiborga olsak, u holda ideal, issiqlik o‘tkazmaydigan va hajmiy issiqlik manbalariga ega bo‘lmagan suyuqlik uchun gidrodinamika tenglamalari sistemasi quyidagicha yoziladi:
Bu oltita tenglamalar sistemasidan - oltita noma’- lum funksiyalar izlanadi, bular x, y, z koordinatalar va t vaqtning funksiya-lari. Bu tenglamalardan beshtasi xususiy hosilali birinchi tartibli nochiziqli tenglamalar bo‘lib, bittasi chekli munosabatdan iborat. Odatda energiyani ifodalovchi ushbu E=E(p,T) munosabat va - massaviy kuchlar koordinatalar va vaqtning funksiyalari sifatida berilgan deb hisoblanadi. T p u u u z y x
Yuqoridagi tenglamalar sistemasini to‘laroq qilib yozaylik:
Tenglamalarning bu yopiq sistemasi orqali ideal, issiqlik
o‘tkazmaydigan suyuqliklarning ham statsionar (vaqt bo‘yicha xususiy
hosilalar nolga teng), ham nostatsionar oqishini, hamda suyuqlikning har
xil sharoitda har xil jismlar atrofidan aylanib oqishini ifodalash mumkin.
Xususan, ideal gazning holat tenglamasi ichki energiya tenglamasini
194
soddalashtirish imkonini beradi va o‘z navbatida adiabatik qonun uchun
ifodaga aylanadi. Shuni ta’kidlash lozimki, vaqt bo‘yicha Lagranj hosilasi
(substansional hosila) uzatish effektini tavsiflaydi, o‘z navbarida bu
tenglamalarning har biri muhitning siqiluvchaligi bilan ham bog‘liq.
Chegaraviy va boshlang‘ich shartlar. Bu tenglamalar sistemasining
yechimlari to‘plami juda keng. Qo‘yilgan masalaning shartlaridan kelib
chiqib, kerakli yechimni tanlashga imkon beruvchi shartlarni (chegaraviy
va boshlang‘ich shartlarni) qo‘ya bilish kerak.
Bir qiymatlilik shartlari aniq oqimni ixtiyoriy oqimdan ajratib turadi.
Fizik nuqtai nazardan bu shartlar oqimning boshlang‘ich vaqt
momentidagi holatini va geometriyasini ifodalaydi. Matematik nuqtai
nazardan esa bu shartlar dastlabki tenglamalarni integrallashda hosil
bo‘ladigan o‘zgarmaslarni aniqlash imkonini beradi. Bu shartlar ikki turga
bo‘linadi: chegaraviy va boshlang‘ich shartlar.
Chegaraviy shartlar suyuqlikdagi qattiq jismning geometrik shaklini
va suyuqlikning ixtiyoriy vaqt momentida oqim chegaralaridagi harakat
shartlarini ifodalaydi. Shunga ko‘ra ular ichki chegaraviy shartlar
(masalan, kanal va quvurlardagi oqim, ichki chegaraviy masala) va tashqi chegaraviy shartlar (masalan, suyuqlik oqimidagi jism, tashqi chegaraviy
masala)ga bo‘linadi.
Ideal suyuqlik uchun chegaraviy shartlar quyidagicha:
● agar suyuqlik qistirib mahkamlangan devor bilan chegaralangan
bo‘lsa, u holda suyuqlik shu qistirib mahkamlangan sirtdan o‘ta olmaydi,
ya’ni qo‘zg‘almas devorning sirtida normal bo‘lgan suyuqlik tezligi
komponentasi nolga teng: un = 0 (umuman olganda, harakatlanayotgan
sirtda un tezlik sirtning mos tezligi komponentasiga teng bo‘lishi zarur);
● agar o‘zaro aralashmaydigan suyuqliklar sirti qaralsa, u holda tutash
sirtdagi har ikkala suyuqliklar bosimlari tengligi sharti va shu sirtda
normal tezliklari tengligi sharti bajarilishi zarur.
suyuqlik tinch turgan yoki harakatlanayotgan sirt bo‘ylab oqishi ham
mumkin, bunday holda sirt bo‘ylab sirpanib qo‘zgalish sodir bo‘ladi, ya’ni
qo‘zg‘almas devorning sirtiga urinma bo‘lgan suyuqlik tezligi
komponentasi noldan farqli (u ≠ 0) bo‘ladi va chegara nuqtalarning
harakati shu sirt bo‘ylab ko‘chishlarda ifodalanadi.
Boshlang‘ich shartlarning ma’nosi shundaki, t=t0 vaqt momentida
hisob sohasining ichida izlanayotgan parametrlar (oqimning izlanayotgan
,t0) taqsimoti berilgan bo‘ladi.
Boshlang‘ich shartlar nostatsionar zarayonlar uchun muhim ahamiyatga
195
ega, masalan, suyuqlikning sokin oqimi uchun ular boshlang‘ich
yaqinlashish vazifasini bajaradi. Shu narsa e’tiborliki, boshlang‘ich
shartlarda
,t0) – skalyar miqdorlar maydoni soni
modeldagi xususiy hosilali tenglamalar soniga teng bo‘lishi lozim.
Statsionar jarayonlar uchun boshlang‘ich shart qo‘yilmaydi, chunki
bunda vaqt bo‘yicha integrallash yo‘q.
Xususiy hol. Gidrodinamikaning tenglamalari sistemasi beshta
tenglamani o‘z ichiga oladi, bular temperaturadan bog‘liq ρ – zichlik, u–
tezlik, ε – ichki energiya zichligi uchun tenglamalar bo‘lib, umumiy holda
bu tenglamalarning har biri ( x,t) – fazoviy va vaqt koordinatalaridan
bog‘liq.
Avvalo yuqoridagi gidrodinamika tenglamalarini Eyler, konservativ
shaklida, ya’ni boshlang‘ich qo‘zg‘almas koordinatalar sistemasiga
nisbatan differensial shaklda yozaylik:
Muhitning harakati bilan uning xossalari uzatiladi – bu gidrodinamik
tenglamalar bilan tavsiflanayotgan eng muhim jarayonlardan biri. Agar
tenglamalarni Lagranj hosilasi, ya’ni
d/dt = ∂/∂t + u
– muhitning harakari bilan bog‘liq bo‘lgan koordinatalar sistemasida vaqt
bo‘yicha hosila yordamida yozsak, u holda gidrodinamika tenglamalari
sodda ko‘rinishni oladi. (6.3′) – (6.5′) tenglamalarda divergensiyani
hisoblab, quyidagi Lagranj, konservativ ko‘rinishidagi tenglamalarga
kelamiz: Holat tenglamasi. Bu gidrodinamikaning (6.7) asosiy tenglamalar sistemasini qaralayotgan muhitning aniq termodinamik xossalarini tavsiflovchi holat tenglamalari bilan to‘ldiriladi.
Agar ideal muhit qaralsa, u holda uning holati faqat ikkita termodinamik parametr (muhit birlik massasi – ichki energiyasi va s – entropiyasi hamda – zichlik (yoki V=1/ – nisbiy hajm), p – bosim, T – temperatura, h – entalpiya (issiqlik miqdori (grekcha enthálpiõ - isitaman)) parametrlar juftligi) dan bog‘liq bo‘ladi (V va lar juftligidan tashqari). Bunday muhitlar ikki parametrli yoki sodda muhitlar deb ataladi.
parametrli muhitning hamma termodinamik parametrlari uning berilgan ikki parametri bilan holat tenglamasi deb ataluvchi tenglama yordamida ifodalangan bo‘ladi.
Muhitning holati p – bosim, zichlik (yoki V – nisbiy hajm) va T – temperatura bilan
p = p (V,T)
kabi yoki umumiy holda
f (p,V,T) = 0
tenglama bilan ifodalanishi mumkin. Bu tenglama muhit holatining termik tenglamasi deb ataladi.
Holat termik tenglamasi hamma vaqt ham muhit termodinamik modelining to‘la xarakteristikalarini bermaydi. Masalan, ushbu E = E (V,T) – holat tenglamasi V va T dan bog‘liq boshqa termodinamik miqdorlarnigina aniqlash imkonini beradi, bunda p va E lar o‘zaro bog‘liq bo‘ladi.
|
|
parametrli muhitning hamma termodinamik parametrlari uning berilgan ikki parametri bilan holat tenglamasi deb ataluvchi tenglama yordamida ifodalangan bo‘ladi.
tenglama bilan ifodalanishi mumkin. Bu tenglama muhit holatining termik tenglamasi deb ataladi.
Holat termik tenglamasi hamma vaqt ham muhit termodinamik modelining to‘la xarakteristikalarini bermaydi. Masalan, ushbu E = E (V,T) – holat tenglamasi V va T dan bog‘liq boshqa termodinamik miqdorlarnigina aniqlash imkonini beradi, bunda p va E lar o‘zaro bog‘liq bo‘ladi.
