Fizika-matematika

XOY, tenglama bilan bir xil shaklga ega
tananing atrofida aylanish harakati
sobit o'q (3.9):
Oxirgi bayonot (qat'iy bo'lishi mumkin
isbotlash!) beri juda g'alati ko'rinadi
(3.9) tenglama IFR ga nisbatan yozildi,
mos yozuvlar ramkasi (OZo o'qi), unda
tananing aylanishi sodir bo'ladi, yo'q
inertial, chunki tananing massa markazi bilan birga harakat qiladi
tezlashuv a 0. Biroq, u shunday va u bilan bog'liq
bu haqiqat biz tanlagan narsamiz bilan aniq
ko'rib chiqilayotganda O nuqtasi sifatida
translatsiya harakati, tananing massa markazi. Da
(3.12) tenglamaning aniq masalalarini yechish va
(3.13) ham kinematik bilan to'ldirilishi kerak
Aylanma harakatni matematik tarzda tavsiflashda tizimning o'qga nisbatan inersiya momentini bilish muhimdir. Umumiy holda, bu miqdorni topish tartibi integratsiya jarayonini amalga oshirishni nazarda tutadi. Shtayner teoremasi hisob-kitoblarni osonlashtiradi. Keling, buni maqolada batafsil ko'rib chiqaylik.
Inersiya momenti nima?
Shtayner teoremasining formulasini berishdan oldin, inersiya momenti tushunchasini tushunish kerak. Aytaylik, ma'lum bir massa va ixtiyoriy shakldagi ba'zi bir jism mavjud. Bu jism moddiy nuqta yoki har qanday ikki o'lchovli va uch o'lchovli ob'ekt (tayoq, silindr, shar va boshqalar) bo'lishi mumkin. Agar ko'rib chiqilayotgan ob'ekt doimiy burchak tezlanishi a bo'lgan o'q atrofida aylanma harakatni amalga oshirsa, u holda quyidagi tenglama yozilishi mumkin:
Bu erda M qiymati butun tizimga a tezlanishni beruvchi kuchlarning umumiy momentini ifodalaydi. Ular orasidagi mutanosiblik koeffitsienti - I, inersiya momenti deyiladi. Ushbu jismoniy miqdor quyidagi umumiy formula yordamida hisoblanadi:
Bu erda r - massasi dm bo'lgan element va aylanish o'qi orasidagi masofa. Bu ifoda r 2 masofalar kvadratlari ko‘paytmalari yig‘indisini elementar massa dm ga topish zarurligini bildiradi. Ya'ni, inersiya momenti tananing sof xarakteristikasi emas, uni chiziqli inersiyadan ajratib turadi. Bu massaning butun aylanadigan jismga taqsimlanishiga, shuningdek, o'qga bo'lgan masofaga va tananing unga nisbatan yo'nalishiga bog'liq. Misol uchun, agar novda massa markazi va oxiri atrofida aylantirilsa, boshqa I bo'ladi.
Inersiya momenti va Shtayner teoremasi

Mashhur shveytsariyalik matematigi Yakob Shtayner parallel o'qlar va inersiya momenti haqidagi teoremani isbotladi, hozirda uning nomini oldi. Bu teorema ixtiyoriy geometriyadagi mutlaq har qanday qattiq jismning qaysidir aylanish o‘qiga nisbatan inersiya momenti jismning massa markazini kesib o‘tuvchi va birinchisiga parallel bo‘lgan o‘qga nisbatan inersiya momentining yig‘indisiga teng ekanligini ta’kidlaydi. , va tana massasining ushbu o'qlar orasidagi masofaning kvadratiga ko'paytmasi. Matematik jihatdan bu formula quyidagicha yoziladi:
I Z va I O jismning massa markazidan o’tuvchi Z o’qiga va unga parallel O o’qiga nisbatan inersiya momentlari, l – Z va O to’g’ri chiziqlar orasidagi masofa.
Teorema I O qiymatini bilib, O ga parallel bo'lgan o'q bo'yicha I Z boshqa har qanday momentni hisoblash imkonini beradi.
Teoremaning isboti

Shtayner teoremasining formulasini o'zingiz osongina olishingiz mumkin. Buning uchun xy tekislikdagi ixtiyoriy jismni ko'rib chiqing. Koordinatalarning kelib chiqishi shu jismning massa markazidan o'tsin. Xy tekislikka perpendikulyar koordinatalar koordinatalaridan o‘tuvchi I O inersiya momentini hisoblaymiz. Tananing istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofa r = √ (x 2 + y 2) formulasi bilan ifodalanganligi sababli, biz integralni olamiz:
I O = ∫ m (r 2 * dm) = ∫ m ((x 2 + y 2) * dm)
Endi o'qni x o'qi bo'ylab parallel ravishda l masofaga, masalan, musbat yo'nalishda harakatlantiramiz, u holda inersiya momentining yangi o'qi uchun hisoblash quyidagicha bo'ladi:
I Z = ∫ m (((x + l) 2 + y 2) * dm)
Qavslar ichidagi to'liq kvadratni kengaytiring va integrallarni ajrating, biz quyidagilarni olamiz:
IZ = ∫ m ((x 2 + l 2 + 2 * x * l + y 2) * dm) = ∫ m ((x 2 + y 2) * dm) + 2 * l * ∫ m (x * dm) + l 2 * ∫ m dm
Bu atamalarning birinchisi I O ning qiymati, uchinchi a'zo integratsiyadan so'ng l 2 * m terminini beradi, lekin ikkinchi had noga teng. Bu integralning nolga tenglashishi uning x va dm massa elementlarining ko'paytmasidan olinganligi bilan bog'liq bo'lib, u o'rtacha nolni beradi, chunki massa markazi koordinata boshida joylashgan. Natijada Shtayner teoremasining formulasi olinadi.
Samolyotda ko'rib chiqilayotgan holat hajmli jismga umumlashtirilishi mumkin.
Shtayner formulasini bar misolidan foydalanib tekshirish

Ko'rib chiqilgan teoremadan qanday foydalanishni ko'rsatish uchun oddiy misol.
Ma'lumki, uzunligi L va massasi m bo'lgan novda uchun inertsiya momenti IO (o'qi massa markazidan o'tadi) m * L 2/12 ga teng va IZ momenti (o'qi oxiridan o'tadi). rodning) m * L 2/3 ga teng. Keling, Shtayner teoremasi yordamida ushbu ma'lumotlarni tekshiramiz. Ikki o'q orasidagi masofa L / 2 bo'lganligi sababli, biz I Z momentini olamiz:
I Z = I O + m * (L / 2) 2 = m * L 2/12 + m * L 2/4 = 4 * m * L 2/12 = m * L 2/3
Ya'ni, biz Shtayner formulasini tekshirdik va manbadagi kabi I Z uchun bir xil qiymatni oldik.
Xuddi shunday hisob-kitoblarni boshqa jismlar (tsilindr, shar, disk) uchun ham, kerakli inersiya momentlarini olishda va integratsiyani amalga oshirmasdan ham amalga oshirish mumkin.
Inersiya momenti va perpendikulyar o'qlar
Ko'rib chiqilgan teorema parallel o'qlarga tegishli. To'liqlik uchun perpendikulyar o'qlar uchun teorema berish ham foydalidir. U quyidagicha ifodalanadi: ixtiyoriy shakldagi tekis jism uchun unga perpendikulyar bo'lgan o'qga nisbatan inersiya momenti ikkita o'zaro perpendikulyar va ob'ekt o'qlari tekisligida yotgan ikki inersiya momentining yig'indisiga teng bo'ladi. , har uch o'q esa bitta nuqtadan o'tishi kerak. Matematik jihatdan u shunday yozilgan:
Bu erda z, x, y uchta o'zaro perpendikulyar aylanish o'qlari.
Ushbu teorema va Shtayner teoremasi o'rtasidagi asosiy farq shundaki, u faqat tekis (ikki o'lchovli) qattiq jismlarga nisbatan qo'llaniladi. Shunga qaramay, amalda u tanani aqliy ravishda alohida qatlamlarga kesib, so'ngra hosil bo'lgan inertsiya momentlarini qo'shib, keng qo'llaniladi.