Fizika-matematika fakulteti ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumini mavjudligining zaruriy va yetarli sharti. Shartli ekstremum

Izoperimetrik masalalar.
Chegaraviy shartlar va
(15)
qo’shimcha shartlar bajarilganda (10) funktsionalning shartli ekstremumini topish masalasi izoperimetrik masala deyiladi.
Izoh. Izoperimetrik masalada, Lagranj masalasidan farqli o’laroq, qo’shimcha shartlarga tarzidagi shart qo’yilmaydi.
Bunday masala uchun Lagranj funktsiyasi


(16)
ko’rinishda bo’ladi, bu erda , Lagranj ko’paytuvchilari bo’lib, ular ixtiyoriy haqiqiy sonlardir. Izoperimetrik masalani echishda ham ekstremumning zaruriy sharti mavjud bo’lib, u Lagranj masalasi uchun aytilgan 3-teoremaga o’xshaydi.
Teorema 4. Agar funktsiyalar (10) funktsionalga (11), (15) shartlar bajarilganda ekstremum qiymat bersa, u holda shunday sonlar (Lagranj ko’paytuvchilari) topiladiki, quyidagi Eyler tenglamalar sistemasi o’rinli bo’ladi:
(17)
Bu erda - (16) ko’rinishdagi Lagranj funktsiyasi.
4-teoremani qo’llash chog’ida izoperimetrik masalani echish uchun zarur bo’lgan izlanayotgan funktsiyalar va Lagranj ko’paytuvchilari (17) va (15) ko’rinishidagi ta tenglamali tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.
Misol 5. Quyidagi izoperimetrik masalada funktsionalga ekstremum beradigan funktsiyani toping:


Echish. Bu masalada Lagranj funktsiyasi

ko’rinishga ega.
Kantorovich usuli.
Bu usul funktsional bir necha o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgandagi variatsion masalalarni echishda qo’llaniladi.

bo’lsin.
(38) funktsionalga Ritts usuli qo’llaniladigan bo’lsa, quyidagi koordinata funktsiyalari tanlanadi :

Echim ,
ko’rinishda izlanadi, bu erda -noma’lum o’zgarmaslar.
Kantorovich usulida esa ekstremalning ifodasi

ko’rinishda olinadi, bu erda - noma’lum funktsiyalar bo’lib, ular (38) ekstremal qiymat qabul qiladigan qilib tanlanadi. Echimni (39) ko’rinishda qidirish bilan ekstremallar sinfi ancha kengayadi.
Endi (39) ni (38) ga qo’yib va hosil bo’lgan ifodani u bo’yicha integrallab, quyidagi funktsionalni olamiz:

funktsiyalar Eyler-Lagranj tenglamalar sistemasini qanoatlantirishi lozim:
,
ko’rinishdagi taqribiy qiymat esa to’g’ri chiziqlardagi berilgan chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi lozim.
Misol 13. Kantorovich usuli bilan quyidagi funktsionalning ekstremalini toping:

bu erda
Echimni

ko’rinishda qidiramiz. to’g’ri chiziqlardagi chegaraviy shartlar bajariladi. ni (40) ga qo’yib va bo’yicha integrallab, topamiz:
.
Bu funktsional uchun Eyler tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi.
Bu tenglamaning umumiy echimi:

o’zgarmaslarni chegaraviy shartlardan aniqlaymiz, ya’ni
bundan .
Pirovardida (40) funktsional ekstremalining taqribiy ifodasini topamiz :


.