Fizika-matematika fakulteti ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumini mavjudligining zaruriy va yetarli sharti. Shartli ekstremum

Funktsiya ekstremumining zaruriy sharti
Agar differensiallanuvchi funksiya M₀ nuqtada ekstre-mumga ega bo‘lsa, u holda uning shu nuqtadagi xususiy hosilalari nolga teng bo‘lish zarur:
, .
4. Ikki o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining yetarli sharti
Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun quyidagi belgilashlar kiritaylik:
va bo‘lsin.
U holda:
1) agar B²-AC<0 bo‘lsa, M₀ statsionar nuqta lokal ekstremum nuqtasi bo‘lib,
a) A < 0 bo‘lsa, maksimum nuqtasi;
b) A > 0 bo‘lsa, minimum nuqtasi.

2) agar B²-AC > 0 bo‘lsa, u holda M₀ statsionar nuqta ekstremum nuqtasi bo‘lmaydi;

3) agar B²-AC = 0 bo‘lsa, u holda bu nuqta ekstremum nuqtasi bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Masala yechimi qo‘shimcha tekshirishni talab etadi.
Murakkab funksiy xosilasi

Har doim ham funksiyaning argumenti erkli o’zgaruvchi bo’lavermaydi. Ko’p hollarda shunday funksiyalar ham uchraydiki, ularning argumentlari boshqa bir o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi. Argumenti х o’zgaruvchining funksiyasi, ya‘ni bo’lgan funksiyaning qaraymiz. Bu holda у o’zgaruvchi ham х o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi va u bu holda murakkab funksiya yoki funksiyaning funksiyasi deb ataladi hamda kabi belgilanadi.

u argument murakkab funksiyaning oraliq argumenti deb ataladi. Masalan, agar y=tgu, bo’lsa, у х ning murakkab funksiyasi bo’ladi:
Asosiy elementar funksiyalar va murakkab funksiya tushunchalaridan foydalanib elementar funksiya tushunchasiga ta‘rif beramiz.
5-ta‘rif. Elementar funksiya deb asosiy elementar funksiyalardan chekli sondagi arifmetik amallar va ulardan olingan murakkab funksiyalardan tuzilgan funksiyaga aytiladi. Asosiy elementar funksiyalarning o’zlari ham elementar funksiyalar sinfiga tegishli. Masalan,
, , , funksiyalarning barchasi elementar funksiyalardir.
Izoh. Elementar bo’lmagan, ya‘ni noelementar funksiyaga funksiya misol bo’ladi. Bunda (o’qilishi: en faktorial). Chunki y ni topish uchun kerak bo’lgan amallar soni n ning o’sishi bilan ortadi, ya‘ni u chekli emas. Bundan buyon biz ayrim hollarni hisobga olmaganda faqatgina elementar funksiyalar bilan ish ko’ramiz.