Fizika-matemati fakulteti

1.4 Rimanning geometriyasida "to'g'ri chiziqlar"
R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

Rimandan keyin biz ushbu geometriyani quyidagicha umumlashtira olamiz. Kosmosdagi ba'zi bir sirt egri (mutlaqo soha emas) va bu nuqtalarni bog'laydigan eng qisqa egri ("geodezik") sifatida ikki nuqtadan o'tgan "to'g'ri chiziq" ni aniqlashdan iborat"dunyo" ni ko'rib chiqing. Sirt nuqtalari ikki sinfga bo'linadi: 1°. Atrofdagi sirt bu sohada o'xshash bo'lgan nuqtalar, bu nuqtada teginadigan tekislikdan bir tomonga yotadi. 2°. Sirt egarga o'xshash bo'lgan joylar (tangent tekisligining har ikki tomonida joylashgan). Birinchi sinfning nuqtalari sirt elliptik nuqtalari deb ataladi – chunki tangent tekisligining kichik parallel harakatlanishi bilan ellipsning shakliga ega bo'lgan egri bo'ylab sirtni kesib o'tadi; ikkinchi sinfning nuqtalari hiperbolik deb ataladi, chunki tangent tekisligining shunga o'xshash harakati bilan giperbolga o'xshash sirt bilan kesishadi. Geodeziya geometriyasi" to'g'ri chiziqlar " sirt nuqtasi atrofida elliptik yoki giperbolik bo'lib, nuqta elliptik yoki hiperbolik bo'ladimi-yo'qligiga bog'liq. Non-Evklid geometriyasining ushbu modelida burchaklar oddiy Evklid geometriyasida bo'lgani kabi o'lchanadi.

Yuqorida keltirilgan g'oya keyinchalik Rim tomonidan ishlab chiqilgan: u yangi ajratilgan sirt geometriyasiga o'xshash kosmik geometriyalarni ko'rib chiqdi. Rimanga ko'ra, kosmosning "egriligi" nuqtadan nuqtaga o'zgarib, nuqta atrofidagi geometriyaning xususiyatini aniqlaydi. Rimning" tekis chiziqlari " geodezik egri. Eynshteynning umumiy nisbiylik nazariyasida kosmik geometriyasi rimanov geometriyasidir; yorug'lik geodezik chiziqlar bo'ylab tarqaladi va har bir nuqtada bo'shliqning egriligi nuqta atrofidagi moddalarning xususiyatlariga qarab belgilanadi.

Aylana to’gri chiziqlari elliptic nuqta

R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

giperbolic nuqta


R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i