Fizika-matemati fakulteti

Poincaré ning non-Evklid tekisligi modeli

Uch o'lchamli Rim geometriyasining asosiy elementlari nuqta, tekislik va tekislik-lardir. Rim geometriyasida bunday jumlalar mavjud: har ikki nuqta bir tekis chi-ziqdan o'tadi, har ikki tekislik bir tekis chiziqdan o'tadi, har ikki tekis chiziq bir tekis chiziqdan o'tadi, bir tekislikda yotadigan har ikki tekis chiziq (bir nuqtada) kesishadi, to'g'ri chiziqdagi nuqtalar davriy tartibda (bir tekislikda yotadigan va bir nuqtadan o'tgan tekis chiziqlar kabi) joylashgan. Shunday qilib, Rimning geometriyasi aksiomining uyg'unlikka oid talablari, samolyot va Euclid makonida ham, Rimning tekisligida va kosmosda raqamlarning erkin harakatlarini ta'minlaydi. Rimanning "kichik" tekisligining metrik xususiyatlari oddiy sohaning metrik xususiyatlariga mos keladi, ya'ni Rimanning tekisligining har qanday nuqtasi uchun bu nuqtaning bir qismini o'z ichiga olgan tekislikning bir qismi mavjud, bu sohaning bir qismini izometrik; ushbu sohaning r radiusi Rimning bu makonining barcha tekisliklari uchun bir xil. K = 1 / R2 raqami Rimning kosmik egrilik deb ataladi. Shuni ta'kidlash kerakki, bu makonning raqamlarining xususiyatlari Evklid uchun qanchalik kichik bo'lsa."Umuman olganda" Rimanning tekisligining xususiyatlari butun sohaning xususiyatlaridan farq qiladi: Rimanning tekisligida ikkita chiziq bir nuqtada kesishadi
R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

va sferik geometriyada to'g'ri chiziqlar bo'lib chiqadigan ikkita katta doira ikki nuqtada kesishadi; tekislikda yotadigan tekis chiziq bu tekislikni ajratmaydi, shuning uchun agar a tekislikda a bo'lsa, a tekisligida yotadigan har qanday ikki nuqta a tekislikda yotadi a, Shunday qilib, Riman Lobachevskiyning geometriyasiga qarama-qarshi bo'lmagan Evklid geometriyasining ikkinchi turini yaratdi. Riman tomonidan taklif etilgan noyob g'oyalar va usullar matematikani rivojlantirish uchun yangi yo'llarni ochib berdi va mexanika va fizikada qo'llanildi. Rim
R

I

m

a

n

G

e

o

m

e

t

r

i

y

a

s

i

geometriyasining rivojlanishi italyan olimlari Ricci-Kurbastro va tensor hisobining Levi-Chivitini yaratish edi.

Evklid geometriyasida, Boyai – Lobachevskiyning hiperbolik geometriyasida bo'lgani kabi, har qanday tekis chiziq cheksiz (chiziqning cheksizligi "o'rtasida bo'lish" va buyurtma aksiomalari bilan bog'liq). Ammo giperbolik geometriya geometriyaning erkin qurilishiga yo'l ochganidan so'ng, to'g'ri chiziqlar cheklangan va yopiq bo'lgan bunday neevklid bo'lmagan geometriyalarni qurish mumkinmi degan savol tabiiy ravishda paydo bo'ldi. Albatta, bunday geometriyalarda ular nafaqat parallel postulatlar, balki buyurtma aksiomalari ham kuchini yo'qotadilar. Zamonaviy tadqiqotlar ushbu geometriyalarning so'nggi jismoniy nazariyalar uchun ahamiyatini aniqladi. Birinchi marta bunday geometriyalar 1851da e'lon qilingan nutqda ko'rib chiqilgan bo'lib, u Göttingen universitetining xususiy dotsenti lavozimiga kirganida Rim tomonidan e'lon qilingan. Yopiq chiziqli geometriyalar hech qanday qarama-qarshiliklarsiz qurilishi mumkin, biz s sharining yuzasidan iborat ikki o'lchovli dunyoni tasavvur qilamiz va "to'g'ridan-to'g'ri" ostida biz sohaning katta doiralarini tushunishga rozi bo'lamiz. Bu navigatorning "dunyosi" ni tasvirlashning eng tabiiy usuli bo'ladi: katta doiralarning yoyi sohada ikki nuqtani bog'laydigan eng qisqa egri va bu tekislikdagi tekisliklarning xarakterli xususiyati. Ko'rib chiqilgan ikki o'lchovli dunyoda har qanday ikkita "to'g'ri chiziq" kesishadi, shuning uchun tashqi nuqtadan ma'lum bir (ya'ni parallel) kesilmaydigan bitta "tekis chiziq" o'tkazilmaydi. Bu dunyoda "to'g'ri" geometriyasi elliptik geometriya deb ataladi. Bunday geometriyadagi ikki nuqta orasidagi masofa faqat ushbu nuqtalardan o'tadigan katta doiraning eng qisqa yoyi uzunligi sifatida o'lchanadi. Burchaklar Evklid geometriyasida bo'lgani kabi o'lchanadi. Elliptik geometriyaning eng xarakterli xususiyati parallel mavjud emas deb hisoblaymiz.