Физика курси I

Кеплернинг иккинчи қонуни. Сайёраларнинг ҳаракати давомида 
унинг г радиус-вектори й1 вақт давомида 
бурчакка бурилади. Шу 
вакт давомида г чизган секторнинг юзи (5.7-расм):
Бу тенгликдан вакт бўйича ҳосила олиб, уни сайёранинг массаси т га 
кўпайтирамиз:
2 т ^ Г = т [ ж ’ а ' ] + т [ 7' ж ]
 
(521)
бу тенгликнинг ўнг томонидаги биринчи кўшилувчи ҳад иккита 
коллинеар векторнинг вектор кўпайтмаси бўлгани туфайли, у нолга
тенг; иккинчи ҳаддаги — — сайёранинг тезлигини ифодалайди
(яъни -Д- == ь ) ; 
— сектор тезлик дейилади. Шундай қилиб,
(5.21) тенгликни куйидагича ёзиш мумкин:
2т 
=т[г,й] 
ёки 
~  = —— =сопз1. 
(5.22)
ё (
1 
1 
сК 
2 т
85
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

т.о
5.7-р а с м
5.8-р а с м
Охирги тенгликнинг ўнг томони ўзгармас катталиклардан иборат 
бўлганлигидан қуйидаги хулосага келамиз: марказий майдондаги 
ҳаракатда сайёранинг сектор тезлиги ўзгармайди.
Энди (5.22) ни куйидаги кўринишда ёзамиз:
(5.22) ва унга мукобил (5.23) тенгликлар К е п л е р н и н г и к к и н ч и
к о н у н и н и ифодалайди: сайёранинг ҳаракати давомида унинг 
радиус-вектори тенг вақтлар оралиғида тенг юзалар чизади.
Қеплернинг биринчи қонуни. Сайёраларнинг ҳаракати ясси 
ҳаракат бўлганлиги туфайли бундай ҳаракатни баён килишда кутб 
координаталари г ва ср дан фойдаланиш максадга мувофикдир. 
5.8-расмда /по ва пг оркали Куёш ва бирор сайёранинг I вактдаги 
вазияти акс эттирилган; бунда г — Куёшдан сайёрагача бўлган 
масофа (радиус-вектор); ф — кутб бурчаги (унинг катталиги шартли 
равишда санок боши деб ҳисобланган кутб ўки тоА га нисбатан соат 
мили йўналишига тескари йўналишда олинади).
Сайёранинг ўз меҳвари бўйлаб ҳаракат тезлигини бири радиус- 
вектор г йўналишида, иккинчиси унга тик йўналишда бўлган ўзаро 
тик иккита ташкил этувчига ажратиш мумкин (5.8-расм);
бунда дг = ал — Куёшдан сайёрагача бўлган масофанинг ўзгариши 
билан, а<р = а<р/ эса ф бурчакнинг ўзгариши билан боғлик тезликлар; 
/ ва / мос равишда 
V ,
ва 
о ф 
йўналишдаги бирлик векторлар 
((5.24) ифодада Су = (и-г— г§ эканлиги эътиборга олинди).
Энди сайёранинг импульс моментини кутб координаталарида 
ифодалаймиз. (5.24) ни (5.20) га кўйиб куйидагига эга бўламиз:
(5.23)
V — ил +  
о Ф/ = г Г +
г 
ф/,
(5.24)
1
= /п[г, у] = т[г, дг] + т\г, уф];
(5.25)
86
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

г ва 
коллинеар (бир хил йўналишдаги) векторлар бўлганлиги 
учун охирги тенгликнинг ўнг томонидаги биринчи қўшилувчи ҳад 
нолга тенг эканлигини ва (5.24)ни назарда тутсак, сайёранинг 
импульс моменти қуйидаги кўринишга келади:
Ь = т\г, уф] =
т [ г , г ф / | = т г с р [ г , 
/];
г ҳамда / векторлар ўзаро тик ва \7, /| нинг йўналиши £ билан 
бир хил бўлиб, сон киймати г га тенг. Шундай қилиб, сайёранинг 
импульс моментининг сақланиш қонуни қутб координвталар тизими- 
да қуйидагича ифодаланади:
^ = т г ’ф =
/.0
= сопз(. 
(5.26)
(5.24) ни назарда тутиб, сайёранинг кинетик энергиясини қутб 
координаталари оркали
2
. > 
ч. э
т у
И / г , 
*~?\2 
т г~ , тг~ч>
— = у ( " + 'ф/ ) 2=  — Н---- ^5-27)
кўринишда ёзамиз (бунда ўзаро тик г' ва / векторларнинг скаляр 
кўпайтмаси нолга тенг эканлиги эътиборга олинди). Марказий 
майдонда ҳаракат қилаётган сайёранинг потенциал энергияси 
манфий, чунки мазкур майдонда жисмга таъсир этувчи кучлар 
консерватив кучлардир ((6.25) га қ.):
( т
0
ва т — мос равишда Қуёшнинг ва сайёранинг массаси). Шундай 
қилиб, марказий майдонда ҳаракатланаётган сайёранинг тўла 
энергиясининг ва импульс моментининг сақланицс қонуни қуйидагича 
ифодаланади:
Е0 =
•2 | 
т
9 . 
* 
•
■' +  ^ Г(Р — V-
= сопз(,
(5.28)
1о 
= гпг2ф = соп
5
(. 
(5.29)
Бу тенгламаларда вақт бўйича олинган ҳосилаларни бурчак ф бўйича 
олинган ҳосилалар билан 
алмаштирамиз. Бунинг учун ф =
= А
0
/т г 2 эканини эътиборга олиб, (5.28)дан қуйидагиларга эга 
бўламиз:
(г)2 =
— £-
0
Н-7