Fizika” kafedrasi 5140200 – Fizika ta’lim yo’nalishi bo’yicha bakalavr darajasini olish uchun Mo’minova Zarina Xudayberdi qizi

2.2.3 Yadrolarda sferik funksiyalarning yechimlari

Laplas tenglamasini sferik koordinatalar sistemasida yechish. Laplas tenglamasining koordinatalar sistemasidagi ko’rinishi:

(2.2.3.1)

Furie metodidan foydalanib, bu tenglama yechimini ko’paytma ko’rinishida qidiramiz:

(2.2.3.2)

(2) tenglmani (1) ga qo’yib quyidagini hosil qilamiz:

.

bu tenglikni ga ko’paytirib, quyidagini hosil qilamiz:

(2.2.3.3)

bu yerda - Lejandra operatori deyiladi, u

(2.2.3.4)

gat eng bo’ladi.

(3)-tenglamaning oldidagi koeffitsentni λ deb belgilaymiz (λ-doimiylik), bundan ikkita tenglama kelib chiqadi.

, (2.2.3.5)

. (2.2.3.6)

(6) – tenglamani quyidagi ko’rinishda yozamiz:

=0 ( )

Shunday qilib, qaytadan Furie metodiga keltiramiz. ) ni ko’paytma ko’rinishida ifodalaymiz

Y=V( ) (2.2.3.7)

va bu ifodani ( ) ga qo’yamiz. Bunda

.

ifoda hosil bo’ladi.

Oxirgi tenglamani ga ko’paytiramiz va quyidagini hosil qilamiz

.

Tenglama oldidagi doimiyni bilan belgilaymiz. Bundan 2 ta oddiy differensial tenglama hosil bo’ladi

(2.2.3.8)

) V( )=0 (2.2.3.9)

(2.2.3.8)- tenglamani yechib, uni ko’rsatkichli funksiya ko’rinishida yozamiz:

(2.2.3.10)

Shunday qilib, bu odatdagi funksiya davriylik shartini qanoatlantiradi,

,

yuqoridagilardan kelib chiqadiki, ning qiymatlari ixtiyoriy bo’lishi mumkin emas, faqat butun qiymatlarni qabul qiladi.

Shunday qilib, funksiya quyidagi ko’rinishni oladi:

(2.2.3. )

(9) – formulani quyidagi munosabatda bo’ladi

(2.2.3. )

( ) tenglamaga Lejandraning umumlashgan tenglamasi deyiladi. Agar yangi x= noma’lum o’zgaruvchi kiritsak, (-1 oraliqda) va deb belgilasak, Lejandraning umumlashgan tenglamasi odatdagi ko’rinishni oladi:

(2.2.3.11)

Haqiqatdan ham, shuning uchun

va ni ga qo’ysak (11) – ifoda kelib chiqadi.

.

Modomiki, (9)- tenglamadan alohida o’zgaruvchi orqali (2.2.3.11)– tenglamani hosil qildik. Bundan ko’rinib turibdiki (9) –tenglamaning chekli yechimi faqat holdagina bo’ladi.

Bu tenglama quyidagi ko’rinishni oladi

Bu tenglamaning integral ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

(2.2.3.12)

Shunday qilib, funksiyani

ko’rinishda qidiramiz, tenglamaning o’ng qismining yechimini R(r) radial ko’rinishda qidiramiz (5). (5)-tenglamadagi qavsni ochib chiqamiz va λ ni bilan almashtiramiz

(2.2.3. )

Bu Eylerning tenglama tipiga mansub bo’ladi. Bunga ko’ra bu tenglamaning yechimi quyidagi ko’rinishfda qidiramiz:

(2.2.3.13)

Bundan R bo’yicha hosila olib ( ) ga qo’yamiz va quyidagini hosil qilamiz:

.

Umumiy hadni ga qisqartiramiz va quyidagi munosabat hosil bo’ladi:

bu yerdan

, +1).

( ) tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda kelib chiqadi

.

Shunday qilib, sharning ichki hamma nuqtalari uchun faqat chekli yechim bizni qiziqtiradi, bunda holat bo’lishi kerak. Shunday qilib,

. (2.2.3.14)

Bu munosabatdan (7) tenglik kelib chiqadi, (6)-tenglamaning chekli yechimi sferik funksiya bo’ladi.

Bundan ko’rinib turibdiki, har bir sferik funksiya uchun 2 bo’ladi., m=o, 1, 2, ……. kabi munosabatda bo’ladi.

Radial funksiya istalgan sferik funksiyaga ko’paytmasi (2) – tenglamaning qisman chekli yechimi Laplas tenglamasi bo’ladi:

. (2.2.3.15)

funksiya sharga tegishli (1)-tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

(2.2.3.16)