Normal koordinatalar
Umumlashgan koordinatalarni shunday qilib tanlab olish mumkinki,
ularning har biri oddiy bita tebranishni ifodalasin. Haqiqatan, (5) tenglamalar
sistemasini yechib,
S
θ
θ
θ
,...,
,
2
1
kattaliklarni
S
x
x
x
,...,
,
2
1
koordinatalar orqali
ifodalash mumkin. Demak,
α
θ
kattaliklarga Yangi umumlashgan koordinatalar deb
qarash mumkin. Bu koordinatalar odatda normal koordinatalar deyiladi va ular
oddiy tebranishlarni ifodalaydi va q
o’yidagi tenglamalarni qanoatlantiradi:
0
2
=
+
α
α
α
θ
ω
θ
Lagranj funksiyasi esa bu koordinatalarda q
o’yidagicha yoziladi:
(
)
∑
−
=
2
2
2
2
α
α
α
θ
ω
θ
α
m
L
Agar
α
α
θ
α
θ
m
=
almashtirish
o’tkazsak,
(
)
∑
−
=
2
2
2
2
1
α
α
α
θ
ω
θ
L
Mustaqil ishlash uchun savollar:
1. K
o’p erkinlik darajasiga ega bulgan sistemadagi tebranishlar sistemasi uchun
Lagranj funksiyasi qanday b
o’ladi?
2. Harakat tenglamasi va uning yechimini k
o’rsating.
3. Normal koordinatalarni tushuntiring.
17-ma’ruza: NOCHIZIQLI TEBRANISHLAR.
REJA
Adiabatik invariantlar.
Krilov-Bogolyubov uslubi bilan tuzish.
Parametrik rezonans.
Tez tebranib o’zgaruvchi maydondagi harakat.
TAYANCH SO’Z VA IBOTALAR: chiziqli bo’lmagan tebranishlar, Krilov-Bogolyubov usuli, chiziqli
bo’lmagan tebranishlar. parametrik rezonans, yassi mayatnik, bir o’lchamli harakatda Lagranj
funksiyasi.
Ko’pgina mexanik sistemalarda harakat chiziqli bo’lmagan tenglamalar
yordamida ifodalanadi. Biz o’tgan temada ana shunday tebranishdan – angarmonik
tebranishlarni ko’rgan edik. Odatda bunday tenglamalar chiziqli ko’rinishga
keltirilganda ularni tekshrish ancha osonlashadi, ammo bu holda chiziqli
bo’lmagan tebranishga xos ko’pgina xusisiyatlar yuqolib ketadi shuning uchun bu
tenglamani yechishda bir qancha taqribiy usullar taklif qilingan. Shu usullardan
biri Krilov-Bogolyubov usulidir.
Qisqacha mayatnik usulida chiziqli bo’lmagan tenglamalarni qaraymiz.
0
sin
2
=
+
ϕ
ϕ
k
Agar tebranish kichik hisoblansa,
ϕ
sin
ni
ϕ
kichik bo’lgani uchun qatorga yoyib
...
!
7
!
5
!
3
sin
7
5
3
+
−
+
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
tenglamani
0
120
6
5
2
3
2
2
=
+
−
+
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
k
k
k
ko’rinishda yozishimiz mumkin. Bu esa chiziqli bo’lmagan ifoda etadi. Krilov-
Bogolyubov usuli chiziqli bo’lmagan tayenglamalar ekvivalent chiziqlashtirish
usuli hisoblanadi.
Chiziqli bo’lmagan tenglama
)
,
(
2
x
x
f
x
k
x
µ
=
+
(1)
ko’rinishga ega bo’lsin. Bu yerda
)
,
(
x
x
f
va
x
x
, larning chiziqli bo’lmagan
funksiyasi,
µ
- kichik parametr.
Agar
0
=
µ
bo’lsa (1) tenglama
0
2
=
+ x
k
x
(2)
Chiziqli tenglamaga aylanadi (2) ning yechimi
ψ
sin
a
x
=
ko’rinishda beriladi. Bu yerda
const
a
const
kt
=
=
+
=
,
,
α
α
ψ
U holda
ψ
cos
ak
x
=
Krilov-Bogolyubov usulining mohiyati shundan iboratki, (1) ning chiziqmastlik
darajasi kichik va tebranish garmonik tebranishlarga yaqin deb hisoblanadi. U
holda
α
ω
ψ
ψ
ω
ψ
+
=
=
=
t
a
x
a
x
,
cos
,
sin
bo’ladi. Bu yerda
[ ]
−
=
=
)
(
),
(
t
a
t
a
a
ω
ω
vaqtning sekin o’zgaruvchi funksiyasi deb
hisoblanadi. U holda chiziqli bo’lmagan tebranishni ifodalovchi (1) tenglama
sistemadagi ishqalanish mavjud bo’lganidagi
0
2
2
=
+
+
x
x
k
x
ω
(3)
Chiziqli tenglamaga ekvivalent bo’ladi. Bu yerda
∫
−
=
π
ψ
ψ
ψ
ω
ψ
ω
π
µ
2
0
cos
)
cos
,
sin
(
2
d
a
a
f
a
k
(4)
∫
−
=
π
ψ
ψ
ψ
ω
ψ
π
µ
ω
2
0
2
2
sin
)
cos
,
sin
(
d
a
a
f
a
k
(5)
Biz bilar edikki, (3) ning yechimi
α
ω
ψ
ψ
+
−
=
=
=
−
t
k
Ce
a
a
x
kt
2
2
,
,
sin
bo’lar edi, (4) da
µ
~
k
bo’lgani uchun u kichik son bo’ladi va
α
ω
ψ
+
≈ t
bo’ladi. U holda
ω
ψ
=
Agar
kt
Ce
a
−
=
ekanligini hisobga olsak,
ka
kCe
a
kt
−
=
−
=
−
Demak (1) tenglamani integrallash (6) va (7) kabi birinchi tartibli differensial
tenglamalarni integrallashga keltiriladi.
Misol:
3
2
µϕ
ϕ
ϕ
=
+ k
)
6
(
2
k
=
µ
Tenglamani yechaylik. Bu yerda
3
)
,
(
ϕ
=
x
x
f
(8) ning yechimini
ϕ
ω
ϕ
ϕ
ϕ
cos
,
sin
a
a
=
=
tariqasida axtaraniz.
ψ
ϕ
ω
ϕ
3
3
sin
)
cos
,
sin
(
a
a
a
f
=
ekanligini hisobga olib
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
π
π
π
π
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ω
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ω
ψ
2
0
2
0
3
3
2
2
0
2
0
3
3
1
sin
sin
sin
)
cos
,
sin
(
cos
sin
cos
)
cos
,
sin
(
d
a
d
a
a
f
I
d
a
d
a
a
f
I
integrallarni hisoblaymiz. Ko’rsatish mumkunki,
3
2
1
4
3
;
0
a
I
I
π
=
=
u holda
2
2
2
4
3
a
k
µ
ω
−
=
)
8
3
1
(
)
4
3
1
(
4
3
2
2
2
1
2
2
2
2
k
a
k
k
a
k
a
k
µ
µ
µ
ω
−
≈
−
=
−
=
Biz
6
2
k
=
µ
ekanligini hisobga olsak,
)
16
1
(
2
a
k
−
=
ω
U holda (6), (7) tenglamalar quydagicha yoziladi:
)
16
1
(
,
0
2
a
k
a
−
=
=
=
ω
ψ
(9)
Chunki bizda
0
=
n
(9) tenglamalarni integrallaymiz:
1
C
a
=
2
2
1
)
16
1
(
C
t
C
k
+
−
=
ψ
Biz
ψ
ning qiymatini
ψ
sin
a
x
=
yechimga qo’yib topamiz:
+
−
=
2
2
1
1
)
16
1
(
sin
C
t
C
k
C
ϕ
(11)
Agar
0
,
,
0
0
=
=
=
ϕ
ϕ
a
t
bo’lsa
2
1
0
sin C
C
a
=
(12)
2
1
cos
0
C
kC
=
(13)
ekanligini topamiz. (13) da
0
1
1
≠
C
k
, damak
0
cos
2
=
C
yoki
2
2
π
=
C
u holda
(12) dan
0
1
a
C
=
demak (11) yechim
t
a
k
a
)
16
1
1
(
cos
2
0
0
−
=
ϕ
ko’rinishga ega bo’ladi.
Parametrik rezonans
Shunday ochiq sistemalari mavjudki, bu sistemalarda tashqi maydon
ta’siri masalasi uning parametrlarining vaqt bo’yicha o’zgarish masalasiga
keltiriladi. Bunday sistemalarga osilish nuqtasi vertikal holda davriy tebranib
turuvchi yassi mayatnik misol bo’lishi mumkin.
Biz ko’rdikki, bir o’lchamli harakatda Lagranj funksyasi
2
2
2
2
kx
x
m
L
−
=
ko’rinishga ega bo’lar edi va bunday sistema parametrlari bo’lib
k
m,
kattaliklar
hisoblanadi. Agar bu parametrlarni vaqt bo’yicha o’zgaradi deb faraz qilsak,
harakat tenglamasi quydagicha yoziladi:
0
)
(
=
+ kx
x
m
dt
d
(1)
Agar o’zgaruvchi
t
t o’rniga yangi
)
( t
m
dt
d
=
τ
o’zgaruvchi kiritsak, (1) tenglama
0
2
2
=
+ mkx
dr
x
d
ko’rinishga keladi yoki
0
)
(
2
2
2
=
+
x
t
dt
x
d
ω
(2)
umumiy ko’rinishda yoziladi. Bu yerda funksiyaning ko’rinishi masala sharti
orqali aniqlanadi. Faraz qilaylikki, bu funksiya biror chastota (shuningdek,
γ
π
2
=
T
davr) bilan aniqlanuvchi davriy funksiya bo’lsin. Demak, bu funksiya uchun
( )
t
T
t
ω
ω
=
+ )
(
bir qiymatlik sharti bajariladi, ya’ni (2) harakat tenglamasi
T
t
t
+
→
almashtirishga nisbatan invariyant bo’ladi. Bundan agar
)
( t
x
(2)
tenglamaning yechimi bo’lsa,
)
(
T
t
x
+
ham uning yechimi hisoblanadi degan
xulosa kelib chiqadi. Boshqacha so’z bilan aytganda agar
)
(
1
t
x
va
)
(
2
t
x
lar (2)
tenglamaning bir-biriga bog’liq bo’lmagan ikkita integrali bo’lsa,
T
t
t
+
→
almashtirirish o’tkazilganda ular o’zaro chiziqli bog’lanishda bo’ladi. Bu paytda
1
x
va
2
x larni shuday tanlab olish mumkinki
T
t
t
+
→
almashtirishda ular doimiy
sonlargagina o’zgarsin:
),
(
)
(
1
1
1
t
x
T
t
x
µ
=
+
)
(
)
(
2
2
2
t
x
T
t
x
µ
=
+
Bunday xossalarga ega bo’lgan funksiyalarning umumiy ko’rinishi quydagicha
bo’ladi:
)
(
)
(
1
1
1
t
t
x
T
t
∏
=
µ
)
(
)
(
2
2
2
t
t
x
T
t
∏
=
µ
(3)
Bu yerda
T
t
t
−
∏
∏
)
(
),
(
2
1
davriylik funksiyalar. Agar (2) ni
1
x va
2
x lar uchun
yozsak
0
)
(
,
0
)
(
2
2
2
1
2
1
=
+
=
+
x
t
x
x
t
x
ω
ω
va ularni mos ravishda
1
x ,
2
x larga ko’paytirib ayirsak
0
)
(
2
1
2
1
1
2
2
1
=
−
=
−
x
x
x
x
dt
d
x
x
x
x
bundan
const
x
x
x
x
=
−
2
1
2
1
(4)
ekanligini topamiz. Agar (3) ni e’tiborga olsak, (4) dagi aralash ko’paytma
2
1
µ
µ
koeffisentlarni paydo bo’lishiga va ko’paytmaning doimiy songa teng bo’lishiga
kamida
1
2
1
=
µ
µ
bo’lishiga olib keladi. Bundan
1
2
2
2
1
=
=
µ
µ
yoki
1
2
1
=
=
µ
µ
ekanligi kelib chiqadi. Boshqa tomondan, (3) dan ko’rindiki, funksiya
µ
ning vaqt
bo’yicha darajasi tariqasida vaqt bo’yicha oshib boradi. Demak sistemaning
muvozanati (x=0 bo’lgan holat ) turg’un bo’lmay qoladi: muvozanat holatda
cheksiz kichik chetlanish darhol vaqt bo’yicha oshib ketuvchi chetlanishga olib
keladi. Bu hodisa parametrik rezonans deyiladi.
Parametrik rezanans paydo bo’lish sharti bilan tanishaylik
)
( t
ω
funksiya
ya’ni biror
0
ω
doyimiy kattalikdan ham farq qiluvchi va davriy o’zgaruvchi
funksiya bo’lsa:
)
cos
1
(
)
(
2
0
2
t
h
t
γ
ω
ω
+
=
Bu yerda
1
0
≤
< h
bo’lgan kichik kattalik hisoblansin. Agar
)
( t
ω
funksiyaning
tebranish chastotasi ikkilangan
0
ω
ga yaqin bo’lsa, parametrik rezonans tezroq
sodir bo’ladi, ya’ni
)
(
,
2
0
0
ω
ε
ε
ω
γ
≤
+
=
u holda harakat tenglamasi
[
]
0
)
2
cos(
1
0
2
0
=
+
+
+
x
t
h
x
ε
ω
ω
(5)
(5)
yechimni
t
t
b
t
t
a
x
)
2
sin(
)
(
)
2
cos(
)
(
0
0
ε
ω
ε
ω
+
+
+
=
(6)
ko’rinishda axtarish mumkin. Bu yerda
)
(
),
(
t
b
t
a
lar vaqtning sekin o’zgaruvchi
funksiyalari. (6) yechimni (5) ga qo’yib
ε
ning birinchi yechimi darajasidagi
hadlarni saqlab qolamiz. Bu patda,
b
b
a
a
ε
ε
~
,
~
deb hisoblaymiz. Agar
t
t
t
t
)
2
cos(
2
1
)
2
3
3
cos(
2
1
)
2
cos(
)
2
cos(
0
0
0
0
ε
ω
ε
ω
ε
ω
ε
ω
+
+
+
=
+
⋅
+
ekanligini hisobga olsak va
t
)
2
(
3
0
ε
ω
+
chastotalik hadni tashlab yozsak, (5)
tenglama o’rnida
0
)
2
cos(
)
2
2
(
)
2
sin(
)
2
2
(
0
0
0
0
0
0
=
+
+
+
+
+
+
+
−
t
a
h
a
b
t
b
h
b
a
ε
ω
ω
ω
ε
ε
ω
ω
ω
ε
tenglamani olamiz. Bu tenglikning bajarilishi uchun
sin
va
cos
funksiyalar
oldidagi koeffisentlar nolga teng bo’lishi lozim.
0
)
2
(
2
1
0
)
2
(
2
1
0
0
=
−
−
=
+
+
a
h
b
b
h
a
ω
ε
ω
ε
Bu chiziqli tenglamalar yechimni
t
e
ϕ
(bu yerda
2
2
0
)
2
(
2
1
ε
ω
−
=
h
S
) tariqasida
axtaramiz. U holda
0
)
2
(
2
1
0
)
2
(
2
1
0
0
=
−
−
=
+
+
Sb
a
h
b
h
Sa
ω
ε
ω
ε
algebraik tenglamalarga ega bo’lamiz. Parametrik rezonansning paydo bo’laishi
uchun
0
2
>
S
bo’lmog’i kerak, ya’ni
2
2
0
0
ω
ε
ω
h
h
<
<
−
Bundan intervalda parametrik razonans paydo bo’lishini ko’ramiz.
Parametrik rezonans shuningdek kuchsiz ishqalanish mavjud bo’lganda ham
paydo bo’lishi mumkin. Ko’rdikki, bu holda tebranish ampilutudasi
)
2
(
,
m
e
t
β
λ
λ
=
−
qonun bilan so’nar edi. Shuning uchun parametrik rezonansda ampilitudaning o’sib
borishi
t
S
e
)
(
λ
−
qonun asosida bo’ladi va turg’insizlik sohasining chegarasi
0
=
−
λ
S
shart bilan aniqlanadi. Rezonans sohasida (6) tengsizlik berilgan holda
2
2
0
2
2
0
4
)
2
(
4
)
2
(
λ
ω
ε
λ
ω
−
<
<
−
−
h
h
ko’rinishda yoziladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |