Филиал Кузгту в г. Белово Кемеровское региональное отделение рэа, Россия

x
, 
 
:
,
,
n
f
C
  

---

88 
1
2
1
2
,
,
,
A A B B
– известные квадратные матрицы порядка 
(
)
n n

, причем такие, 
что прямоугольные матрицы 
1
2
( ,
)
A A
и 
1
2
( ,
)
B B
имеют ранги:


1
2
,
rang A A
n

,


1
2
,
rang B B
n

, 
0
 
– фиксированный малый параметр при старшей произ-
водной. Требуется определить 
 
:
,
n
y
C
  
так, чтобы выполнялись задан-
ные условия (1) - (2). 
Построим модификацию метода унитарной прогонки для решения ли-
нейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго по-
рядка с пограничным слоем, которая позволяет преобразовать исходную 
задачу в виде совокупности трех задач Коши. 
Для начала введем в рассмотрение регулирующие матрицы-
множители 
1
( , )
M x

и 
2
( , )
M x

, представленные в виде матриц, и в дальней-
шем рассматриваем вместо 
( )
y x
и 
( )
y x

преобразованные вектор-функции 
1
( , ) ( )
M x
y x

и 
2
( , ) ( )
M x
y x


. Эти матрицы составляют с решением и его гра-
диентом единые блоки. 
Также введем вспомогательные вектор-функции 
( ), ( )
r x s x
, определен-
ные на заданном отрезке 
[ , ]
 
, и матрицы 
( ),
1, 4
i
W x
i

по правилу: 




*
*
1
2
3
1
( )
( )
( , ) ( )
( , ) ( )
r x
W x M x
y x
W
M x
y x





, (3) 




*
*
2
2
4
1
( )
( )
( , ) ( )
( , ) ( )
s x
W
x M x
y x
W
M x
y x





. (4) 
В формулах (3), (4) «звездочкой» помечен переход к транспонирован-
ной и комплексно-сопряженной матрице. 
За счет построенных таким образом решения системы
1
( , ) ( )
M x
y x

и его 
градиента 
2
( , ) ( )
M x
y x


можно обеспечить нормальное поведение их на всем 
заданном отрезке, а, главное, в зонах пограничных слоев. 
Будем рассматривать случай, когда пограничный слой расположен на 
правом граничном условии, то есть вблизи точки
x
 
. 
Ограничения на матрицы
( ),
1, 4
i
W x i

определяем таким образом, чтобы 
квадратная матрица 
1
2
3
4
( )
( )
( )
( )
( )
W x
W x
W x
W x
W x


 



для 
 
,
x
   
обладала свойством унитарности. Свойство унитарности 
возможно при выполнении следующих условий: 
*
*
1
1
2
2
( )
( )
( )
( )
,
W x W x
W x W x
E


*
*
3
3
4
4
( )
( )
( )
( )
,
W x W x
W x W x
E


*
*
1
3
2
4
( )
( )
( )
( )
0,
W x W x
W x W x



---

89 
*
*
3
1
4
2
( )
( )
( )
( )
0.
W x W x
W x W x


Построив произведения матриц 
*
WW
и 
*
W W
, получим, что 
*
*
WW
W W
E


, 
что и доказывает унитарность матриц. 
Для получения граничных условий применяем линейные преобразо-
вания [3]. Это нужно для того, чтобы преобразованные векторы вместе с 
n
векторами составили ортонормированную систему 2
n
векторов. При этом 
используем процесс ортонормирования по Шмидту. Получим первое гра-
ничное условие (2) по формулам:
*
1
1
( )
W
V
 
, 
*
3
2
( )
W
V
 
. 
Определив значения матриц
1
3
( ),
( )
W
W


, получим значение вектора 
( )
r
  
. 
Итак, начальные значения для матриц 
1
3
( ),
( )
W x W x
и вектора 
( )
r x
найдены. 
В прямом ходе метода прогонки находим эти матрицы и вектор
( )
r x
, как 
решения задач Коши
1
1
*
1
2
2
1
2
1
3
1
(
)
A
W
M
M
W
M M W
W G















, 
*
1
1
( )
W
V
 
. 
1
*
1
*
3
2
2
1
1
1
3
3
(
)
B
W
M
M
W
M M W
W G














, 
*
3
2
( )
W
V
 
. 
Вектор 
( )
r x
найдем, как решение задачи Коши для уравнения 
*
1
2
( )
f
r x
Gr W M




, 
( )
r
  
. 
Здесь матрица
G
уже найдена. Это позволяет осуществить перенос гра-
ничного условия из точки

во все остальные точки отрезка 
 
,
 
, и в ко-
нечном итоге получим значение в точке 
x
 
, то есть точки, вблизи кото-
рой расположен пограничный слой. Но, так как сюда перешло новое уже 
теперь начальное для задачи Коши условие: 
*
2
3
( )
W
V
 
и
*
4
4
( )
W
V
 
, 
то обратный ход метода прогонки уже осуществляем без проблем.
Решаем задачи Коши: 

---

90 
1
1
*
*
2
2
2
2
2
1
4
1
2
(
)
A
W
M
M
W
M M W
W H
W I
















, 
*
2
3
( )
W
V
 
. 
1
*
1
*
*
4
1
2
4
1
1
4
3
4
(
)
B
W
M
M
W
M M W
W H
W I















, 
*
4
4
( )
W
V
 
Остается только найти вектор 
( )
s x
. Его легко получить, решив дифферен-
циальное уравнение: 
*
2
2
( )
( )
( )
f
s x
H x r
I x s W M





, 
( )
s
  
. 
Окончательно искомое решение находим по формулам: 
1
1
2
( , ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
M x
y x
W x r x
W x s x



, 
2
3
4
( , ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
M x
y x
W x r x
W x s x




. 
Итак, исходная граничная задача была переформулирована в сово-
купность задач Коши. Следует отметить, что матрицы 
( ),
1, 4
i
W x
i

и век-
тор-функции 
( ), ( )
r x
s x
, входящие в полученные задачи Коши, являются 
благоприятными в вычислительном отношении. Для самих задач Коши 
существует много хорошо работающих известных методик [4]. Регулиру-
ющие множители 
1
( , )
M x

и 
2
( , )
M x

, составляющие единые блоки с реше-
нием системы и его градиентом, вычисляются точно [5].
Список литературы 
1.
Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы 
решения задач с пограничным слоем. М.:Мир, 1983. 186 с. 
2.
Соловьева И. Ф. О решении систем линейных о. д. у. второго порядка с 
пограничным
 
слоем 
// 
Труды БГТУ. Сер. физ.-мат. науки и информати-
ка, 2001. Вып. IX. С. 7-11. 
3.
Холл, Д. Современные численные методы решения обыкновенных 
дифференциальных уравнений /Д. Холл, Д. Уатт; пер. с англ. – М.: Мир, 
1979. – 312 с. 
4.
Деккер, К. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелиней-
ных дифференциальных уравнений / К. Деккер, Я. Вервер; пер. с англ. – 
М.: Мир, 1983. – 200 с. 
5.
Соловьева И. Ф. Особенности решения граничных задач с пограничным 
слоем // Труды БГТУ. № 2(194): Физ.-мат. науки и информатика. 2017. 
С. 20 – 24. 

---

91 
УДК 519.6 
РАЗРАБОТКА ИНТЕРАКТИВНЫХ ОБУЧАЮЩИХ ЗАДАНИЙ 
СРЕДСТВАМИ WEB-СЕРВИСА LEARNINGAPPS.ORG 
П.Д. Сорокина 
Научный руководитель: Семенова Т.С. преподаватель кафедры ТиМПО 
Кузбасский государственный технический университет
имени Т.Ф. Горбачева г. Кемерово 
В настоящее время возрастает роль информационных технологий, 
которые охватывают дополнительные возможности для повышения каче-
ства и эффективности процесса обучения. 
Актуальность работы состоит в том, что использование комплекса 
интерактивных заданий позволит сделать процесс обучение более увлека-
тельным и интересным, а также окажет помощь при закреплении материа-
ла, что имеет особо значимую ценность в связи со сложившейся ситуацией 
в стране и мире при переводе образовательного процесса в дистанционную 
форму. 
Преимущество интерактивных заданий – возможность классифици-
ровать задачи для разных групп обучающиеся в зависимости от их способ-
ностей, что позволяет с одинаковым успехом увлечь процессом отлични-
ков и неуспевающих, а также обучающиеся с ограниченными возможно-
стями здоровья, создав максимально комфортные условия работы для всех. 
Благодаря работе с разными задачами у учителя исчезает проблема 
«усреднения знаний», что дает возможность развивать способности каждо-
го конкретного учащегося максимально широко. 
Благодаря наличию интерактивных заданий отпадает необходимость 
в использовании дополнительных методических материалов и обучающих 
пособий (специальные тетради, атласы, карты, схемы, таблицы и т.д.). Весь 
материал можно визуализировать на экране. 
Достоинства этого комплекса интерактивных заданий:
•
во-первых, мобильность; 
•
во-вторых, доступность связи с развитием компьютерных сетей;
•
в-третьих, адекватность уровня развития современных научных зна-
ний.
С другой стороны, создание комплекса интерактивных обучающих 
заданий способствует также решению и такой проблемы, как постоянное 
обновление информационного материала. В них также может содержаться 
большое количество упражнений и примеров, подробно иллюстрироваться 
в динамике различные виды информации. Кроме того, при помощи ком-
плекса интерактивных обучающих заданий осуществляется контроль зна-
ний - компьютерное тестирование. 

---

92 
Цель проекта – разработать комплекс интерактивных обучающих за-
даний средствами Web-сервиса Learning.org по дисциплине 
«Информати-
ка», предназначенных для закрепления пройденного материала 
Задачи проекта:
•
изучить возможности Web-сервиса Learning.org; 
•
подготовить презентационный материал по темам дисциплины «Ин-
форматика»; 
•
разработать задания в соответствии с пройденными темами. 
Для разработки интерактивных заданий был выбран веб-сервис 
LearningApps, потому что: