Fazoda analitik geometriya elementlari

ARIFMETIK VEKTOR FAZO FAZODA BERILGAN VEKTORLARNING KOLLENIYARLIGI

Reja:

1. 
   Fazoda to`g`ri chiziq
   
   1. 
      Fazoda tekislikning turli ko`rinishdagi tenglamalari. Nuqtasi va normal vektori bilan berilgan tekislik tenglamasi
      
   2. 
      Berilgan uch nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasi. Tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchak. Tekisliklarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari
      
   3. 
      Berilgan nuqtadan berilgan tekislikgacha masofa
      
2. 
   Chiziqli fazo. Yevklid fazo
   
   1. 
      To`g`ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik va parallellik shartlari
      
   2. 
      Fazoda ikki to`g`ri chiziq orasidagi burchak. To`g`ri chiziq va tekislik orasidagi burchak. Fazoda to`g`ri chiziqning turli ko`rinishdagi tenglamalari.
      

1.1. Fazoda tekislikning turli ko`rinishdagi tenglamalari. Nuqtasi va normal vektori bilan berilgan tekislik tenglamasi
R<sub>3</sub> fazoda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lib, a radius vektor berilgan bo`lsin. a radius vektor oxiridan vektorga yagona mumkin bo`lgan perpendikulyar tekislik (T) o`tkazilgan, M(x, y, z) nuqta tekislikning ixtiyoriy nuqtasi va 0M = r(x, y, z) nuqtaning radius vektori bo`lsin.
|a| = P, vektorning birlik vektori, , β va γ a yoki ν vektorning koordinata o`qlarining musbat yo`nalishi bilan hosil qilgan burchaklari bo`lsin (1-rasm).
cos α, cos β va cos γ a yoki ν vektorning yo`naltiruvchi kosinuslari deyiladi. Har qanday r vektorning ν vektordagi sonli proeksiyasi P ga teng:
Pr _ν r = (r, ν) = P (P ≥ 0) (1)
(1) tenglamaga T tekislikning vektor shakldagi tenglamasi deyiladi. Vektor tenglama koordinatalarda
x cos α +y cos β + z cos γ = P (P ≥ 0) (2)

1-rasm. 2-rasm.

ko`rinishda yoziladi. (2) tenglama tekislikning normal shakldagi teng-lamasi deyiladi. Agar (2) tenglamani noldan farqli biror-bir songa ko`-paytirsak, tenglamaga teng kuchli

A x + B y + C z + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0) (3)

ko`rinishdagi tenglamani olamiz. (3) tenglamaga T tekislikning umumiy ko`rinishdagi tenglamasi deyiladi.

Har qanday (3) ko`rinishdagi tenglamani (2) normal shakldagi teng-lamaga keltirish mumkin. Buning uchun umumiy tenglamani normallovchi ko`paytuvchi ga ko`paytirish yetarli. P= -μ D ning nomanfiyligini ta`minlash maqsadida “+” yoki “–” ishoralaridan ozod had D ishorasining qarama-qarshisi tanlanadi. Natijada
μ A x + μ B y + μ C z = P ( P ≥ 0 )
Bu yerda, (μA)² + (μB)² + (μC)² = 1 munosabat o`rinli bo`lib, ν = (μA, μB, μC) vektorning birlik vektor va uning koordinata o`qlaridagi sonli proektsiyalari, mos ravishda quyidagilarga
μ A = cos α, μ B = cos β, μ C = cos γ
tengligini payqash qiyin emas.
Agar tekislik umumiy ko`rinishdagi tenglamasi bilan berilgan bo`l-sa, tenglama shaklidan tekislikning o`zi haqida quyidagilarni aniqlash mumkin: 1) agar D = 0 bo`lsa, A x + B y + C z = 0 tekislik koordinata boshidan o`tadi; 2) N = (A, B, C) vektor T tekislikka perpendikulyar, ya`ni tekislikning normal vektoridir, chunki u ν = (μA, μB, μC) vek-torga kollinear: μΝ = ν.
Umumiy tenglamaning xususiy hollarini tahlil qilish mumkin. Agar C = 0 bo`lsa, Ax + By + D = 0 tenglama bir tomondan x0u koordinatalar tekisligida to`g`ri chiziqni ifodalasa, R₃ fazoda to`g`ri chiziqdan o`tib, x0u koordinatalar tekisligiga perpendikulyar yoki 0z applikata o`qiga parallel tekislikni aniqlaydi (2-rasm). B = C = 0 bo`lsa, Ax + D = 0 tekislik 0x abssissa o`qini nuqtada o`qqa perpendikulyar yoki y0z koordinatalar tekisligiga parallel ravishda kesuvchi tekislikni aniqlaydi (2-rasm) va hokazo. X = 0 – y0z koordinatalar tekisligi tenglamasi, y = 0 – x0z koordinatalar tekisligi tenglamasi va z = 0 esa x0y koordinatalar tekisligi tenglamasidir.
Agar umumiy ko`rinishdagi tekislik tenglamasida A, B, C va D sonlarning har biri noldan farq qilsa, u holda (3) umumiy tenglama quyidagi ko`rinishga keltirilishi mumkin
(4)
bu yerda, , va . (4) tenglamaga tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi deyiladi (2 – rasm).
Berilgan M<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) nuqtadan berilgan N(A, B, C) vektorga perpendikulyar ravishda o`tuvchi tekislik tenglamasi vektor shaklda (N, r–r₀) = 0 ko`rinishda yozilsa, koordinatalarda

A(x–x₀) + B(y–y₀) + C(z –z₀) = 0

shaklda yoziladi. Bu yerda, r₀ – M₀ nuqtaning radius vektori.