Farg’ona davlat universiteti

2.2-§. Chegarada buziladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

Agar va funksiyalar oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, bo’lsa, ushbu

(2.2.1)

tenglama chegarada buziladigan ikkinchi tartinbli differensial tenglama deyiladi. Bunda ko’pincha funksiya uchun tengsizlik bajariladi deb qaraladi.

(2.2.1) differensial tenglama uchun quyidagicha chegaraviy shartlar bilan qo’yilgan masalalar qaraladi:

Agar bo’lsa,

(2.2.2)

Agar bo’lsa,

(2.2.3)

{(2.2.1), (2.2.2)} masalani qaraylik. Agar {(2.2.1), (2.2.2)} masalaning yechimini

ko’rinishda ifodalash mumkin bo’lsa, bu formuladagi funksiya {(2.2.1), (2.2.2)} masalaning Grin funksiyasi deyiladi.

funksiyani tuzishga kirishamiz. Buning uchun (2.2.1) ternglamaning umumiy yechimini topamiz. (2.2.1) ni integrallab,

tenglikka yoki bu yerda Dirixle formulasidan foydalanib,

(2.2.4)

tenglikka ega bo’lamiz. Bundan chegaraviy shartga asosan chegaraviy shartga asosan esa

tenglik kelib chiqadi, bu yerda

.

Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yamiz:

Bu yerdagin oraliq bo’yicha integralni va oraliqlar bo’yicha integrallarga ajratsak va

,

tengliklarni e’tiborga olsak, (*) tenglik

Ko’rinishda yoziladi. Bu yerda

belgilash kiritsak, oxirgi tenglikni quyidagi

ko’rinishda yozish mumkin bo’ladi. U holda yuroqidagi ta’rifga asosan funksiya {(2.2.1), (2.2.2)} masala uchun Grin funksiyasi bo’ladi. Bu yerda

tengliKlarni e’tiborga olsak, Grin funksiyasining quyidagicha ko’rinishiga ega bo’lamiz:

(2.2.5)

Bu Grin funksiyasi quyidagi xossalarga ega ekanligi osongina isbotlanadi:

1) Grin funksioyasi kvadratda uzluksiz;

2) bo’lganda tenglik bajariladi;

3) Grin funksiyasi (2.2.2) shartlarni qanoatlantiradi;

4) .

Endi {(2.2.1),(2.2.2)} masalaning yechimini topamiz. (2.2.1) tenglamaning umumiy yechimi (2.2.5) formula bilan aniqlaanadi. Undan chegaraviy shartga asosan esa

tenglik kelib chiqadi.

Topilganlarni (2.2.4) ga qo’yib,

tenglikka ega bo’lishimiz, bu yerdagi funksiya

ko’rinishga ega bo’lib, u {(2.2.2), (2.2.3)} masalaning Grin funksiyasi bo’ladi.Bu funksiyaning xossalariga to’xtalamiz:

1) Grin funksiyasi to’g’ri to’rtburchakda uzluksiz (bu yerda );

2) tengsizlik o’rinli.

Bu tengsizlikni isbotlaymiz:

Bu yerda ikkinchi qo’shiluvchida integrallash tartibini o’zgartirib,so’ngra x ni t bilan, t ni esa x bilan almashtirsak va tenglikni e’tiborga olsak,

tenglik kelib chiqadi. U holda

3) bo’lganda tenglikni bajariladi;

4) Grin funksiyasi (2.2.2) chegaraviy shartlarni bajaradi;

5)

Oxirgi 3), 4) va 5) xossalar ham Grin funksiyasining formulasidan foydalanib qiyinchiliksiz isbotlandi.