Farg’ona davlat universiteti

2) differensial operatorning chegaraviy shartlarni qanoatlamtiruvchi Grin funksiyasini tuzing.

Yechish. Ma’lumki, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda yoziladi. U holda bo’ladi. Bularni va chegaraviy shartlarni e’tiborga olib, tengliklarga ega bo’lamiz. Demak, u holda tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi bo’ladi. Agar bo’lsa, trivial yechimga ega, bo’lsa, trivial bo’lmagan bo’lmagan yechimga ega bo’lamiz. Shuning uchun umumlashgan Grin funksiyasini tuzish lozim bo’ladi. yechimni normallashtirsak, kelib chiqadi. Endi , ya’ni tenglamaning umumiy yechimini topamiz:

Demak, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi

ko’rinishda izlaymiz. Bu funksiyani chegaraviy shartlarga bo’ysundirsak, tengliklar va

tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Oxirgi sistemani yechib, larni topamiz: Shunga ko’ra, umumlashgan Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishga keladi:

Buni umumlashgan Grin funksiyasi ta’rifining birinchi shartlariga bo’ysundirib

algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.

Bu sistemani yechib, quyidagilarni topamiz:

.

Bularni o’rniga qo’ysak, umumlashgan Grin funksiyasi

ko’rinishga keladi. noma’lumni topish uchun umumlashgan Grin funksiyasining normallangan yechim bilan ortoganal bo’lim shartidan foydalanamiz, ya’ni

tenglikdan foydalanamiz. ni bu shartga qo’yib,

ni topamiz. ning bu qiymatini funksiyaning oxirgi formulasiga qo’ysak, o’rganilayotgan masalaning umumlashgan Grin funksiyasi hosil bo’ladi.