Farg’ona davlat universiteti

II BOB.

Chegarada buziladigan differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

2.1-§. Yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

1. Umumiy tushunchalar. Yuqori tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun qo’yilgan chegaraviy masalani yechishda yangi qiyinchiliklar deyarli kelib chiqmaydi. Shuning uchun bir tipik misolni tekshirish bilan chegaralanamiz. Quyidagi

(2.1.1)

differensial tenglama berilgan bo’lsin.

differensial ifodaning

(2.1.2)

chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasi quyidagicha ta’riflanadi:

Ta’rif. Ikki argumentli funksiya quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1˚. funksiyalar s ning oraliqdagi barcha qiymatlarida x argumenti bo’yicha uzluksiz;

2˚. funksiya (2.1.2) chegaraviy shartlarni bajaradi;

3˚. hosila x ning oraliqdagi barcha qiymatlarida uzluksiz, lekin nuqtada birinchi tur uzilishga ega bo’lib, uning sakrashi 1 ga teng, ya’ni

yoki

.

4˚. funksiya oraliqlarda differensial operatorning (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan Grin funksiyasi deyiladi.

Grin funksiyasining eng harakterli xususiyatlaridan biri uning uchun Gilbert teoremasining o’rinligidir, ya’ni agar funksiya (2.1.1) tenglamani va (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, uni

(2.1.3)

ko’rinishda ifodalash mumkin va, aksincha, (2.1.3) formula bilan berilgan y(x) funksiya (2.1.1) tenglama va (2.1.2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.