Farg’ona davlat universiteti

2. To’rtinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Grin funksiyasini tuzishga doir misollar.

1) differensial operatorning chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi Grin funksiyasini tuzing.

Yechish. Eng avval tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Ravshanki, u quyidagi ko’rinishga ega:

Bundan foydalanib ko’rsatish mumkinki, bir jinsli tenglamaning bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi yechim bo’ladi. Shuning uchun oddiy Grin funksiyasini tuzamiz.

Grin funksiyasini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:

Chegaraviy shartlardan ushbu

algebraik tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistemadan larni topamiz. Demak, Grin funksiyasi quyidagi ko’rinishga ega:

Grin funksiyasi uchun birinchi va uchinchi shartlarga ko’ra ushbu algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bu sistemani yechib, quyidagilarga ega bo’lamiz:

Topilganlarni o’rniga qo’ysak, o’rganilayotgan masalaning Grin funksiyasi to’la aniqlanadi: