Farg’ona davlat universiteti matematika-informatika fakulteti

Kurs ishining vazifalari:
1.Mavzuga doir ma’lumotlarni to’plash va aniq rejani shakllantirish;
2.Geometriya fanini kelib chiqishi haqida malumot berish;
3.Dekart koordinatalari sistemasi haqida malumot berib ketish;
4.Dekart reperida to’g’ri chiziq va tekislikka doir mertik masalalar mavzusini yoritib berish.

I BOB. Koordinatalar sistemasi.

1.1 Geometriyaning kelib chiqishi.

Geometriya (geo va metriya)-matematikaning predmet va shakllarini o’rganadigan bo’limi. Yer o’lchach bilan bog’liq ravishda paydo bo’lgan. Nomi shundan. Masalan, ochiq silindrsimon idishning shakli, hajmi, sirtining yuzi geometriya o’rganish obyektlari, uning rangi yoki qanday moddadan yasalgani esa geometriyani qiziqtirmaydi. Shuningdek, asosi doira bo’lsa ham, shaklda ellips bilan tassvirlanishi geometriyaga mansub munosabatdir. Geometriya tushunchalarini mavhumlashtirib, ideallashtitib o’rganadi. Masalan, silindirsimon idishning asosi doiradan biroz farq qilishi, yasovchisi to’ppa-to’g’ri bo’lmasligi mumkin, sirti qalinlikga ega, asosi bilan yon sirti tik tutashmay, silliqlangan bo’ladi, lekin geometriyada bu kabi tafsilotlar soqit qilinadi. Shunday yo’l bilan o’lchamlarga ega bo’lmagan nuqta, har ikki tomonga cheksiz davom etuvchi to’g’ri chiziq kabi tushunchalar, parallelik, simmetriklik kabi munosabatlar hosil qilinadi. Buning evaziga tatbiq doirasi juda keng, ma’lum ma’noda mutlaq va universal tabiatli qonuniyat aniqlanadi.
Geometriya oid dastlabki ma’lumotlar Qadimgi Bobil va Misrda kuzatuv yo’li (empirik usul) bilan to’plangan. Masalan, bir juft parallel to’g’ri chiziqni uchinchi to’g’ri chiziq kesib o’tsa, hosil bo’lgan 8 ta burchakdan to’rttadani o’zaro teng; tomonlari 3, 4 va 5 birlik bo’lgan uchburchakning bir burchagi to’g’ri. Geometrik xossalari to’plash yunonlar tomonidan davom ettirilgan. Bu muammo ustida mushohada ayrim dalilarni boshqalaridan sof mantiqiy mushohada bilan keltirib chiqarish isbot, isbotlangan xossa esa teorema deb atala boshlangan. Dastlabki shunday dalillardan biri Fales (mil.av.625-548yillar) teoremasidir. Yunon faylasufi Pifagor akademyasida mantiq va matematika muhim o’rin tutib, muntazam teoremalar isbotini izlash bilan shug’ullangan. Tabiiyki, bunda imkoni boricha oz dalildan boshqa barcha dalilarni keltirib chiqarishga urinilgan. Bu urinishlar yakuni sifatida Yevklid o’zining mashhur “Negizlar” asrini yaratadi. Bu asar nafaqat matematik tarixida, balki umuman tafakkur taraqiyotida beqiyos o’rin tutib, 2000 yil davomida mantiqiy mushohada namunasi bo’lib xizmat qildi. “Negizlar” da Yevklid nuqta, to’g’ri chiziq, tekislik, tenglik, to’g’ri chiziq yoki tekislikning nuqtadan o’tishi (insidentlik) kabi tushunchalarni asos qilib olib, kesma, burchak, ko’pburchak, parallelik, perpendikulyarlik kabi tushunchalarga ta’rif beradi. Xuddi shu singari 10 ta geometrik dalilni isbotsiz qabul qiladi (ular aksiomalar va postulatlar deb atalgan) va birin-ketin teoremalarni keltirib chiqaradi.

1. 
   Qadimgi Misr va Bobilda geometriya amaliy ehtiyojlar: maydonlar yuzini o’lchash, navigatsiya, astronomiya, me’morlik masalalarini hal qilish uchun vujudga kelgan bo’lsa, Yunonistonda geometriya san’at sifatida ham rivojlanib, yuksak natijalarga erishdi. Xususan, sirkul va chizg’ich yordamida shakllar yasash rivoj topdi. Yunonlarning bu sohada erishgan darajasi shundan ham ko’rinadiki, ular qo’ygan muntazam ko’pburchaklar yasash masalasi 1796y. (K.F.Gauss), doyra kvadraturasi masalasi esa 1882y.dagina (F.Lindemann) hal qilindi. Yunonlar doira va ayrim egri chiziqli shakllar yuzlari, piramida, konus va shar hajmlarini hisoblashda integral hisob elementlari qo’llaganlar (Arximed va b.). Pergalik Apolloniyga mansub konus kesimlari nazriyasini esa shubhasiz yunon geometriyasining gultojisi deyish mumkin.
   

Milodning 3-asridan keyin yunon geometriyasi umuman madaniyat bilan birga inqiroz tomon yuz tutdi, lekin geometriya arab sharqi mamlakatkatlari, O’rta Sharq, xususan, O’rta Osiyolik olimlar faoliyati bilan bog’liq. Ahmad al-Farg’oniy stereografik proyeksiyaga oid Ptolemey qoldirgan teoremalarning isbotini berdi, tekislik trigonometriyasi va sferik trigonometriya yaratildi (Battoniy, Beruniy, Nasriddin Tusiy, Abul-Vafo va b.).Algebra geometriyaga va geometriya algebraga tatbiq qilina boshladi. Bu go’yalar 16-asrdan Yevropa olimlari tomonidan rivojlantirilib, analitik geometriyaga asos solindi, (P.Ferma, R.Dekart). Shu davrdan boshlab me’morchilik va tasviriy san’at yuksalishi munosabati bilan perspektiv akslantirish xossalari o’rganiladi va proyektiv geometriya vujudga keldi. 18-asrda differensial geometriya rivojlandi. Yevklidning “Negizlari” 2000 yil davomida mantiqiy qat’iylik namunasi bo’lib kelganligiga qaramay, uning ayrim o’rinlariga tanqidiy nazar bilan qaralib takomillashtirilgan: boshlang’ich tushunchalar tarkibi qayta ko’rib chiqilgan, nuqtalarning tartibiga oid va uzluksizlik aksiomalari bilan to’ldirilgan, qator akssiomalari bilan to’ldirilgan, qator aksiomalar esa boshqalari orqali isbotlanib, teoremalar qatoriga o’tkizilgan. Bu ish D. Gilbertning “Geometriya asoslari” asarida yakunlandi.Deyarli Yevklid zamonidan boshlab uning 5-postulati yoki unga teng kuchli parallelik aksiomasini isbotlashga juda ko’p urinilgan (jumladan, Nasriddin Tusiy, Umar Xayyom, I. G. Lambert), chunki matematiklarda u teorema bo’lishi kerak degan ishonch hukm surgan, xilma-xil “isbotlar” ham taklif etilgan, lekin bu isbotlarning barchasida mantiqiy nosozlik uchraydi-Yevklid aksiomasiga teng kuchli boshqa tasdiqdan (masalan, uchburchak burchaklarning yig’indisi 180 ga tengligidan) foydalanib ketilgan..
Geometriya quyidagi bo’limlardan iborat:
Elementar geometriya – Planimetriya va Stereometriyani o’z ichiga oladi. Shuningdek, nuqta, to’g’ri chiziq, yuza va fazodagi jismlarni o’rganadi.
Analitik geometriya – unda soda geometrik obrazlar (nuqtalar, to’g’ri chiziqlar, tekisliklar, egri chiziqlar va sirtlar ) koordinatalar usuli asosida algebraic vositalar bilan o’rganadi.
“Geometriya”- grekcha so’z bo’lib, o’zbek tilida “Yer o’lchash” degan ma’noni beradi. Geometriya birinchi marta bundan 4000 yil muqaddam Misr va Bobilda vujudga kelgan. Eramizdan oldingi V asrda yashagan grek tarixchisi Geradot geometriyaning vujudga kelishi haqida bunday deydi: “Misr shohi Soetros har bir misrlikka qura bo’yicha yer maydoni ajratib berar va yer egasidan shu yerga mos soliq undirar edi. Agar Nil daryosi toshib biror kishining yerini yuvib ketsa, u shohga xabar berar va shoh tanobchilar yuborib, u kishining yeri qanchaga kamayganligini aniqlatar hamda unga mos ravishda soliqni ham kamaytirar edi. Geometriya mana shunday paydo bo’lgan, so’ngra I resiyaga o’tgan.Bu haqida grek olimlaridan biri Evdem (eramizdan oldingi IV asr) bunday yozadi: Geometriyani misrliklar kashf etgan, u yer o’lchash natijasida vujudga kelgan. Bu o’lchashlar doim yerlarning chegarasini yuvib ketadigan Nil daryosining toshqinlari tufayli hosil bo’lgan. Bu fan ham boshqa fanlar singari, kishilarning ehtiyoji tufayli vujudga kelgan”.Demak, geometriyani insoniyatning ehtiyoji vujudga keltirgan, ya’ni ular to’g’ri chiziqlar o’tkazishlari, maydonlarning yuzini hisoblashlari, buyumlarning hajmini aniqlashlari zarur bo’lgani uchun ham u Misrda bo’lmasa boshqa biror mamlakatda, albatta, vujudga kelar edi. Haqiqatan, matematikada ana shunday holatlar juda ko’p uchraydi. Turli mamlakatlarning matematiklari bir-birlaridan bexabar holda ayni bir teoremani kashf etganliklari, ayni bir masalani bir xil usulda yechganliklari haqidagi ma’lumotlar ko’p.