Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

Yechimi. I. bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topamiz. Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasi

bo’lib, uning ildizlari, bo’ladi. Bundan esa bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishda ekanligi kelib chiqadi.
II. Endi berilgan tenglamaning xususiy yechimini (9) ko’rinish­da, ya’ni

holda qidiramiz, chunki tenglamaning o’ng tomoni (8) ko’rinishda, Bizning misolda chunki xarakteristik tenglamaning yechimi emas.
chunki va bo’lib, va shuning uchun Shunday qilib, xususiy yechimni

ko’rinishda qidirishimiz kerak ekan. Buni tenglamaga qo’yib,





larni olamiz. Bundan esa berilgan tenglamaning xususiy yechimi

ko’rinishda ekanligi kelib chiqadi.
Demak, berilgan tenglamalarning umumiy yechimi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi (1) bilan berilgan tenglamaning xusu­siy yechimi yig’indisiga teng:

g) tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechimi. Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topib olamiz: Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasi ko’rinishda bo’ladi, bundan larni olamiz. Bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishda bo’ladi.
Yuqorida eslatilgan qoidaga ko’ra, bu tenglamaning o’ng tomoni ikkita har xil funksiyalarning yig’indisi bo’lgan uchun tenglamaning chap tomoni, uning o’ng tomonidagi qo’shiluvchilarning har biriga tenglashtirib, xususiy yechimlar topamiz va berilgan tenglamaning xususiy yechimi sifatida ularning yig’indisini olamiz.
II. tenglamaning xususiy yechimini (6) ko’rinishda ya’ni holda qidiramiz. Bizning misolda va demak, chunki xarakteristik tenglamaning bir karrali ildizi, , chunki , shunday qilib xususiy yechimni

ko’rishda qidirish kerak ekan. Buni tenglamaga qo’yib


larni olamiz. Demak, bu tenglamaning xususiy yechimi

ko’rinishda ekan.
III. tenglamaning xususiy yechimi (9) ko’rinishda, ya’ni holda qidiramiz. Bizning misolimizda chunki harakteristik tenglamaning ildizi emas, chunki

bo’lib, shunday qilib, xususiy yechimni

ko’rinishda qidirish kerak ekan. Buni tenglamaga qo’yib,

larni olamiz. Bundan esa o’z navbatida xususiy yechimning

ekanligi kelib chiqadi.
Yuqorida aytilganiga ko’ra, berilgan tenglamaning umumiy yechimini topilgan yechimlarning yig’indisidan iborat: