Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

Geometrik masalalarni yechishda, avval chizmani chizib olish kerak. Keyin izlanayotgan funksiyani y = y(x) orqali belgilab masala shartini miqdorlarni x, y va ( urinmaning burchak koeffitsienti ekanligidan foydalanish kerak)lar orqali ifodalansa, hosil bo’lgan tenglik differensial tenglama bo’ladi. Differensial tenglamani yechib, y = y (x) izlanayotgan funksiyani topamiz.
Misol. egri chiziqlar ( – parametr) oilasining izogonal traektoriyalarini toping (shu oila egri chiziqlari bilan bir xil burchak ostida kesishuvchi boshqa bir oila izogonal traektoriyalari deyiladi)
Yechimi. Berilgan chiziqlar oilasining differensial oilasini tuzamiz. Buning uchun quyidagi sistemadan C parametrni yo’qotamiz:

Natijada berilgan chiziqlar oilasining

ko’rinishdagi tenglamasini olamiz (bu erda umuman olganda ko’rinishdagi tenglama hosil bo’ladi, biz uni ga nisbatan yechib olish mumkin deb faraz qilamiz).
Ma’lumki, nuqtada kesishuvchi ikki egri chiziq orasidagi burchak deb, egri chiziqlarga bu nuqtalarda o’tkazilgan urinmalar orasidagi burchakka aytiladi. Biri birinchi (berilgan), ikkinchisi ikkinchi (topish kerak bo’lgan) chiziqlar oilasiga tegishli bo’lgan nuqtada o’zaro kesishuvchi ixtiyoriy ikkita chiziqni I va II deb belgilab olaylik (2-rasmga qarang). I va II chiziqlarga M nuqtada o’tkazilgan urinmalarning OX o’qi bilan hosil qilgan burchaklarni mos ravishda bilan belgilasak, I va II chiziqlar orasidagi burchak bo’ladi. Bundan
(7)

2-rasm.	tenglikni olamiz. Tushunarliki, –ma’lum ( burchak berilgan), ( chiziqqa berilgan nuqtadan o’tkazil­gan urinmaning burchak koeffitsientini beradi). Demak, (7) munosabat

ko’rinishida bo’ladi. Bu umumiy integrali berilgan egri chiziqlar oilasi uchun izogonal traektoriyalar bo’ladi, ular berilgan egri chiziqlarni bir xil burchak ostida kesib o’tadi. Agar traektoriyalar ortogonal bo’lsa, u holda

bo’lib, ortogonal traektoriyalar oilasining differensial tenglamasi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
(8)
Xususan, chiziqlar oilasiga ortogonal bo’lgan (chiziq­lar oilasini) traektoriyalarini topish kerak bo’lsin.
Avvalo, chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzib olamiz:

Demak, berilgan chiziqlar oilasining differensial tenglamasi ekan. (8) tenglikka ko’ra izlanayotgan traektoriyalarning differensial tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi. Bu differensial tenglamani echamiz

Demak, izlanayotgan chiziqlar oilasining tenglamasi bo’ladi.
Misol. Shunday chiziqni topingki, uning ixtiyoriy nuqtasidan o’tkazilgan urinma, urinish nuqtasi ordinatasi va abssissalar o’qi xosil qilgan uchburchak yuzi o’zgarmas ga teng bo’lsin.

3-rasm.

Yechimi. Izlanayotgan chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olaylik (3-rasmga qarang). Tushunarliki, chiziqqa nuqtadan o’tka­zilgan urinma bilan OX o’qi orasidagi burchak uchun tenglik o’rinli. Biz quyida­gilarga egamiz:

Ikkinchi tomondan demak, quyidagi differensial tenglamaga ega bo’lamiz:

Bu tenglamani o’zgaruvchilarini ajratib echamiz:

Shunday qilib, biz masalaning yechimini oldik, izlangan chiziq ko’rinishida bo’lar ekan.