Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

O’zgarmasni variatsiyalash usuli. Chiziqli bir jinsli bo’l­magan
(10)
tenglamaning yechishning umumiy usullaridan biri o’zgarmasni variatsiyalash usulidir.
Faraz qilaylik, bir jinsli chiziqli

tenglamaning umumiy yechimi topilgan va u ko’rinishda bo’lsin. Bu erda lar ixtiyoriy o’zgarmaslar, lar esa bir jinsli tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi u holda (10) tenglamaning yechimi,
(11)
ko’rinishda qidiriladi. Bu erda noma’lum funksiyalarni topib olish uchun
(12)
tenglamani sistemasini olamiz. Bu sistemaning yechim­larini topib, ularni integrallab funksiyalarini olamiz. Bularni (11) ga qo’yib, bir jinsli bo’lmagan tengla­maning umumiy yechimini olamiz. (12) sistemaning yechimga ega ekan­ligi funksiyalarning fundamental yechimlar sistemasi ekanligidan kelib chiqadi.
Misol. tenglamani o’zgarmasni variatsiyalash usu­li bilan yeching.
Yechimi. bir jinsli tenglamaning umumiy yechimini topib olaylik. Xarakteristik tenglamasi bo’lib, bo’ladi. Shuning uchun, bir jinsli tenglamaning yechimi

ko’rinishda ekanligi kelib chiqadi.
Endi berilgan tenglamaning yechimini

ko’rinishda izlaymiz, buni tenglamaga qo’yib (12) sistemani olamiz

Bu sistemani yechib, ifodalarni, bularni integrallab esa larni olamiz. Bularni olib borib o’rniga qo’yib

berilgan tenglamani umumiy yechimini olamiz.
XULOSA

Hоzirgi kunda O’zbekistоnda ta’lim tizimidagi islоhоtlarning asоsini shakllantiruvchi qatоr me’yoriy xujjatlar qabul qilingan va amalga оshirilib kelinmоqda. Bular asоsida “Ta’lim to’g’risida”gi va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi to’g’risida”gi qоnunlar alоhida o’rin tutadi. Bu qоnunlardan kelib chiqadigan vazifa ta’lim dasturlari mazmunining yuqоri sifatiga erishish va yangi pedagоgik texnоlоgiyalarni jоriy qilishdir. Ushbu usullar talabalarning ijоdiy faоlligini оshirishda, iqtisоdiy masalalarni hal qilishda, muammоni hal qilishning eng maqbul yo’llarini tоpishda yordam beradi. Shuningdek, iqtisоdiyot yo’nalishi bo’yicha bakalavrlar tayyorlash davlat ta’lim standartini amalga оshirishda amaliy vоsita hisоblanadi.

Davlat ta’lim standartida bakalavrning tayyorgarlik darajasiga quyidagi talablar qo’yilgan:
- dunyoqarashni kengaytiruvchi bilimlar tizimiga ega bo’lishi, gumanitar va sоsial–
iqtisоdiy fanlarning asоsini, davlatning hоzirgi kundagi siyosatining dоlzarb masalalarini bilishi, ijtimоiy muammо va hоdisalarni mustaqil tahlil qila оlishga qоdir bo’lishi;
- mamlakatimiz tarixini bilishi, milliy g’оya va umuminsоniy qadriyatlar masalalari bo’yicha o’z nuqtai-nazarini ilmiy asоslash, milliy mustaqillik g’оyasi asоsida faоl hayotiy nuqtai nazarga ega bo’lishi;
- tabiat va jamiyatda sоdir bo’ladigan jarayon va hоdisalar to’g’risida yaxlit tasavvurga ega bo’lishi, ulardan hayotda va kasbiy faоliyatida ilmiy asоslangan hоlda fоydalana оlishi;
- insоnning insоnga, jamiyatga, atrоf-muhitga nisbatan bo’lgan munоsabatini bоshqarishning huquqiy va ahlоqiy me’yorlarini bilish, kasbiy ish jarayonida ularni hisоbga оla bilishi;
- axbоrоtni to’plash, saqlash, qayta ishlash va uni qo’llash usullarini bilishi, o’zining kasbiy ish tajribasiga asоslangan xulоsalar chiqarishi;
- mustaqil ravishda yangi bilimlarni o’zlashtirishi, o’z malakasini оshirishi va mehnatini ilmga asоslangan hоlda tashkillashtirishi;
- sоg’lоm hayot kechirish tarzining muhimligi to’g’risida ilmiy tushunchalarga va
asоslarga, jismоniy rivоjlanish bоrasidagi bilim va malakalarga ega bo’lishi;
- kadrlar malakasini оshirish va qayta tayyorlash tizimida qo’shimcha kasbiy ta’lim оlishi kerak.
Tabiatshunoslik va texnikaning ko’pgina masalalarini hal etishga qaralayotgan hodisa yoki jarayonlarni tavsiflovchi noma’lum funksiyalar va ularning hosilalarini o’zaro bog’lovchi munosabatlar ma’lum bo’lganda bu funksiyalarni topishga keltiriladi. Bunday munosabatlar differensial tenglamalar deyiladi.
Noma’lum funksiyaning hosilasi yoki differensiali qatnashgan tenglama differensial tenglama deyiladi. Agar noma’lum funksiya bir argumentli bo’lsa, u holda tenglama oddiy differensial tenglama deb, agar noma’lum funksiya ko’p o’zgaruvchili bo’lsa, u holda tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb aytiladi. Differensial tenglamalarni tartibi tenglamada qatnashgan eng yuqori tartibli hosila tartibi bilan aniqlanadi. Differensial tenglamaning yechimi deb tenglamada qatnashayotgan hosilalari mavjud bo’lgan va noma’lum funksiyaning o’rniga qo’yilganda tenglamani to’g’ri tenglikka aylantiradigan funksiyaga aytiladi. Differensial tenglamaning yechimi bo’lgan funksiyaning grafigi berilgan tenglamaning integral egiri chizig’i deyiladi.
Darhaqiqat, fizika, biologiya, ximiya, tibbiyot, iqtisod va boshqa fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamimda tavsiflanadi. Shu tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqidagi biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz. Ana shu differensial tenglamalar o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi. Bu model qancha mukammal bo’lsa, differensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi. Shunisi qiziqki tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin. Bu esa biror bir matematik model to’la o’rganilsa, tegishli natijadan turli jarayonlarni tushuntirishda foydalansa bo’ladi. Aytilgan fikrlar differensial tenglamalarning umumiy nazariyasi va amaliy masalalarni yechishga tatbiqi muhim ahamiyat kasb etishini anglatadi. Mazkur kurs ishida shunday fizik va geometrik jarayonlarni matematik modellari o’rganish ular orqali tuzilgan differensial tenglamalar, o’zgarmas koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar va ularning yechish usullari o’rganilgan.