Fanning o‘quv-uslubiy majmuasi o‘quv reja va namunaviy o‘quv dasturiga muvofiq ishlab chiqildi

Мисол: экан.
2. Алгебраик
(2)
тенгламанинг илдизларини ажратиш масаласи яхши урганилган ва анча осондир.

3- Теорема: Агар
булса у холда (3) тенгламанинг барча илдизлари

халка ичида ётади.

Бу теоремадаги сонлар (3) тенглама мусбат илдизларнинг куйи ва юкори чегаралари булади. Шунга ухшаш сонлар манфий илдизларнинг мос равишда куйи ва юкори чегараси булади.
4 – теорема (Лагранж теоремаси).
Агар (2) тенгламанинг манфий коэффицентларидан энг биринчиси (чапдан унгга томон хисоблаганда) булиб, манфий коэффициентларининг абсолют кийматлари буйича энг каттаси булса, у холда мусбат илдизларнинг юкори чегараси
(3)
сон билан ифодаланади.

3 – теорема (Ньютон теоремаси)

Агар учун купхад ва унинг барча хосилалари номанфий булса: холда ни (2) тенгламани мусбат илдизлари учун юкори чегара деб хисоблаш мумкин.
Мисол: Куйидаги тенгламани хакикий илдизларининг чегараси топилсин.
(4)
3-теоремани куллаймиз, бу ерда демак яъни (4) тенгламанинг илдизлари (-9;9) ораликда ётар экан.
Энди Лагранж теоремасини куллаймиз:
демак
(5) тенгламада ни га алмаштирсак,
(5)
тенглама келиб чикади. Бу тенглама мусбат илдизининг юкори чегараси учун хам тенгсизлик келиб чикади. Яъни Лагранж тенгламасига кура (4) тенгламанинг илдизлари ( ) ораликда жойлашган экан.
Ньютон теоремасини куллаймиз. Бу ерда

куриниб турибдики, учун
булса хам факат мусбат киймат кабул килади, яъни мусбат илдизларнинг юкори чегараси экан. Худди шундай тенглама учун мусбат илдизларининг юкори чегараси эканлигига ишонч хосил киламиз. Демак (5) тенгламани илдизлари (~3,2) ораликда ётар экан.
Хар учула метод натижаларини солиштирсак Ньютон методи гарчи купрок мехнат талаб килсада, илдизлар чегаралари учун яхширок натижа бериши куринади.
Энди олий алгебрадан маълум булган иккита теорема исботсиз келтирамиз.
Декарт теоремаси (2) тенглама коэффициентларидан тузилган системада ишора алмаштиришлар сони канча булса (санашда нолга тенг коэффициентларга этибор килмаймиз), тенгламанинг шунча мусбат илдизи мавжуд ёки мусбат илдизлар сони ишора алмаштиришлар сонидан жуфт сонга камдир.
(6)
Мисол: нинг коэффициентлари
сонлардан тузилган системада ишора алмаштиришлар сони 3-та демак (6) тенгламада мусбат илдизларининг сони 3-та ёки 1-та, нинг коэффициентларидан тузилган системада эса ишора алмаштиришлар сони 1-та демак, (5) тенглама 1-та манфий илдизга эга экан.
Фараз килайлик, (3) тенглама карали илдизга эга булмасин. Биз оркали хосилани, оркали ни га булганда хосил булган колдикнинг тескари ишора билан олишининг; ва х.к. белгилаймиз ва бу жараённи колдикда узгармас сон хосил булгунча давом эттирамиз, натижада штурм катори деб аталувчи

функциялар кетма-кетлитгига эга буламиз.