Fanning o‘quv-uslubiy majmuasi o‘quv reja va namunaviy o‘quv dasturiga muvofiq ishlab chiqildi

Масалаларни сонли ечишдаги натижанинг хатоси
Асосий саволдлар

1. 
   Хатолар манбаи.
   
2. 
   Хисоблаш хатоси. Тургунлик хакида.
   
3. 
   Йукотилмас хато.
   

Таянч иборалар: Дастлабки маълумот, абсолют ва нисбий хато, Логорифмлаш хатоси, ишончли ракамлар.

Купинча математик масалаларни сонли ечишда биз доимо аник ечимга ега булла олмасдан, балки ечимни у ёки бу даражадаги аникликда топамиз. Демак, аник ечим билан такрибий ечим орасидаги хатолик кандай килиб чикади деган савол тугилиши табиийдир. Бу саволга жавоб бериш учун хатоликларнинг хосил булиш сабабларини урганиш лозим.

1. Математикада табиат ходисаларининг микдорий нисбати у ёки бу функцияларни бир-бирлари билан боглайдиган тенгламалар ёрдамида тасвирланади ва бу функцияларнинг бир кисми маълум булиб (дастлабки маълумотлар), бошкаларини топишга тугри келади. Табиийки, топилиши керак булган микдорлар (масаланинг ечими) дастлабки маълумотларнинг функцияси булади. Керакли ечимни ажратиб олиш учун дастлабки маълумотларга конкрет кийматлар бериш керак. Бу дастлабки маълумотлар, одатда, тажрибадан олинади (масалан, ёруглик тезлиги, Планк доимийси, Авогардо сони ва хо казо) ёки бошка бирор масалани ечишдан хосил булади. Хар икала холда хам биз дастлабки маълумотларнинг аник кийматига эмас, балки унинг такрибий кийматига эга буламиз. Шунинг учун агар дастлабки маълумотларнинг хар бир киймати учун тенгламани аник ечганимизда хам, бари бир (дастлабки маълумотлардаги кийматлар такрибий булганлиги учун) такрибий натижага эга буламиз ва натижанинг аниклиги дастлабки маълумотларнинг аниклигига боглик булади.
Аник ечим билан такрибий ечим орасидаги фарк хато дейилади. Дастлабки маълумотларнинг ноаниклиги натижасида хосил булган хато йукотилмас хато дейилади. Бу хато масалани ечаётганда математикка боглик булмасдан, унга берилган маълумотларнинг аниклигига богликдир. Лекин математик дастлабки маълумотлар хатосининг катталигини билиши ва шунга караб натижанинг йукотилмас хатосини бахолаши керак. Агар дастлабки маълумотларнинг аниклиги катта булмаса, аниклиги жуда катта булган методни куллаш уринсиздир. Чунки аниклиги катта булган метод куп мехнатни (хисоблашни) талаб килади, лекин натижанинг хатоси бари бир йукотилмас хатодан кам булмайди.
2. Баъзи математик ифодалар табиат ходисасининг озми-купми идеаллаштирилган моделини тасвирлайди. Шунинг учун табиат ходисаларининг аник математик ифодасини (формуласини, тенгламасини) бериб булмайди, бунинг натижасида хато келиб чикади. Ёки бирор масала аник математик формада ёзилган булса ва шу куринишда ечиш мумкин булмаса, бундай холда бу масала унга якинрок ва ечиш мумкин булган масалага алмаштирилиши керак. Бунинг натижасида келиб чикадиган хато метод хатоси дейилади.
3. Биз доимо ва шунга ухшаш ирационал сонларнинг такрибий кийматларини оламиз, бундан ташкари, хисоблаш жараёнини оралик натижаларда куп хонали сонлар хосил булади, буларни яхлитлаб олишга тугри келади. Яъни масалаларни ечишда хисоблашни аник олиб бормаганлигимиз натижасида хам хатога йул куямиз, бу хато хисоблаш хатоси дейилади.
Шундай килиб, тулик хато юкорида айтилган йукотилмас хато, метод хатоси ва хисоблаш хатоларининг йигиндисидан иборатдир. Равшанки, бирор конкрет масалани ечаётганда юкоридан айтилган хатоларнинг айримлари катнашмаслиги ёки унинг таъсири деярли булмаслиги мумкин. Лекин, умуман олганда хато тулик анализ килиниши учун бу хатоларнинг хаммаси хисобга олиниши керак.
Юкорида келтирилган таърифларни туларок тушуниш учун куйидаги мисолни карайлик.
Мисол. Ён томонлари га ва улар орасидаги бурчак га тенг булган тенг ёнли учбурчак билан унинг асосини диаметр деб олиб чизилган ярим доирадан ташкл топган фигуранинг юзи ни хисобланг, ва улчаш натижасида топилган деб олинг.
1-чизмадан фойдаланиб, куйидагини хосил киламиз:






Агар ва билан мос равишда ва ларнинг улчаш натижасида топилган кийматларини белгилаб олсак, у холда

булади. Бундан йукотилмас хато келиб чикади. Агар кулимизда тригонометрик функциялар жадвали булмаса, биз бу формулани жадвалсиз хисоблаш мумкин булган бошка

формула билан алмаштирамиз. Натижада метод хатоси келиб чикади. Агар биз бу ерда ва нинг Тейлор каторидаги ёйилмасининг чекли йигиндисини эмас, балки узлуксиз касрлардаги ёйилмасининг -тартибли мос касрини олганимизда метод хатоси бошкача булар эди.
ни хисоблашда ни тарибий киймати билан алмаштириш ва ораликдаги натижаларни яхлитлашга тугри келади. Натижада биз урнига га эга буламиз, шу билан бирга хисоблаш хатоси келиб чикади. Демак, тулик хато йукотилмас хато, метод хатоси ва хисоблаш хатосининг йигиндисига тенгдир:
(1.1)
Одатда, юкорида келтирилган хатоларнинг ишоралари номаълум, шунинг учун хам биз бу хатоларни абсалют кийматлари билан олишимиз керак:

бу холда биз (1.1) тенглик урнида куйидагига эга буламиз:

Бу мисолда ни етарлича катта килиб олиб, метод хатосини етарлича кичик килиб олиш мумкин. сонининг такрибий кийматини катта аниклик билан олиб ва хисоблашни хам катта аниклик билан бажариб хисоблаш хатосини хам камайтиришимиз мумкин. Лекин йукотилмас хатони камайтириш бизнинг ихтиёримизда эмас. Бунинг учун ва ларни кайтадан каттарок аниклик билан улчашга тугри келади.
Агар бизга ва ларни улчашдаги хатоларнинг катталиклари берилган булса, биз бу хатони натижага канчалик таъсири борлигини курсата оламиз.