Фанидан маърузалар матни

q^3	q^2p	q^2p	q^2p	p^2q	p^2q	p^2q
P^3
m	0	l	1	l	2	2	2	3

Uchta tajribadan birontasida ham A voqelik sodir bo’lmaslik ehtimolligi P₀₃=3 P₀₃—P( ), 3 ta tajribaning bittasida A voqelik sodir bo’lsa P₁₃=3q²p; P₁₃=P( ) yoki yoki va uchta tajribaning ikkitasida A voqelik sodir bo’lsa:

P₂₃=3q²p;
P₂₃=(yoki yoki yoki ); P₃₃=P³. (4.4)
P_m3 ehtimollikni (q+p)³ binomni yoyish orqali aniqlasa bo’ladi.
n tajribada A voqelikning sodir bo’iishi m marotaba, sodir bo’lmaslik ehtimoli n—m bo’lganda bir-biri bilan bog’liq bo’lmagan ehtimolliklarni ko’paytirish teoremasiga asosan p^m q^n-m ko’paytma bilan ifodalanadi.
Bunday natijalar soni n elementdan m bo’yicha qancha (sochitaniy) tuzish mumkin bo’lsa shuncha bo’lishi mumkin.
(4.5)
Ushbu natijalarning barchasining sodir bo’lish ehtimolligi bir xil bo’lgani uchun A voqelikning n tajribada m marotaba sodir bo’lish ehtimolligi P_mn bitta natijaning ehtimolligini natijalar soniga ko’paytmasi bilan ifodalanadi va Bernulli formulasi deb yuritiladi:
(4.6)
Pmn - Nyuton binomi (q+p) ⁿ ning yoyilgan a’zolarini aks ettiradi va shuning uchun uni ham ehtimolliklarning binomal taqsimlanishi deb hisoblaymiz.
Amalda n tajribalar A voqelikning kamida (eng kamida) k marotaba sodir bo’lish ehtimolligini P_n(k) aniqlash zarur bo’ladi va uni ehtimolliklarni qo’shish teoremasi bo’yicha aniqlanadi:


(4-7)
Kamida 1 ta voqelik sodir bo’lish ehtimolligi:
(4-8)
Biron bir voqelikni R dan kam bo’lmagan ehtimollikda kamida bir marotaba sodir bo’lishini tasdiqlash uchun o’tkazilishi kerak bo’lgan tajribalar soni quyidagicha topiladi:
(4.9)
6-misol. Kun mobaynida bir birlik mahsulot olishga sarflanayotgan sohshtirma eneigiya sarfi belgilangan me’yordan oshishi ehtimoh 0,8 bo’lgan hol uchun yaqin 7 kun ichida 4 kun davomida solishtirma energiya sarfini me’yordan ortiq bo’lmaslik ehtimoli aniqlansin.
Yechish. Misol shartiga ko’ra eneigiya sarfini n=7 kun davomida kuzatish mobaynida m=4 kun davomida uning miqdorini me’yordan oshish ehtimohni (P_4,7) topamiz; R=0,8 bo’lgani uchun q=1—r= 1—0,8=0,2 bo’lishini inobatga olgan holda ehtimollik P_4,7 ni Bemulli formulasi yordamida aniqlaymiz:

Tajribalar, kuzatuvlar soni (n) katta bo’lganda n tajriba natijasida A voqelikning m marotaba sodir bo’lish ehtimolligini (P_mn) Laplasning asimptolik formulasi yordamida quyidagicha hisoblanadi:

Hisob ishlarini osonlashtirish uchun funksiya qiymatlari adabiyotlar yoki ma’lumotnomalarda keltiriladi.
Amalda n tajriba davomida A voqelikni k 1 dan kam bo’lmagan k2 dan ko’p bo’lmagan marotaba sodir bo’lish ehtimolligini aniqlash ko’proq uchraydi. Ushbu holda Laplas funksiyasini quyidagi shaklda ifodalaymiz:

— maxsus funksiya.
Tajribalar soni n katta bo’lgan va npq < 9 bo’lgan hollarda Puasson formulasidan foydalaniladi:

7-misol. Zavodda tayyorlanayotgan cho’g’lanma lampalardan N foizi (N%) standart talablariga javob beradi. Ishlab chiqarilgan umumiy lampalar sonidan (bosh majmuadan) ajratib olingan 100 dona (n=100) cho’g’lanma lampalardan:

1. 
   ltasining nostandartligi ehtimolligi:
   
2. 
   k tadan kam bo’lmagan nostandartlari borligi ehtimolini aniqlang.
   

Ushbu masalani 2 variant uchun yechimini toping:

1. 
   N=80%; l=18ta; k= 16 ta;
   
2. 
   N=95%; l=7 ta.
   

Yechish. 1-variant uchun. Nostandart lampani aniqlash ehtimoli

Laplas asimpitatik formulasi bilan 100 ta larnpadan 18 tasining nostandartlik ehtimolini topamiz:

2-ilova, 2.1-jadvaldan (—l/2)= ( 1/2) uchun to’g’ri keladigan (t) ni qabul qilamiz: 0,3521 [1].

k= 16 uchun 100 ta lampadan kamida 16 ta nostandart lampalar aniq- lanish ehtimohni topamiz:

Laplas funksiyasi orqali ni hisoblaymiz.
=Ф(20)- Ф(-1)=0,5+0,34134 0,84
Ф(20)=0,5 va Ф(-1)=0,34134 qiymatlar 2-ilovadan olingan [1].)
2-variant uchun. aniqlanadigan ehtimollikni Puasson teoremasi yordamida ifodalaymiz: