Fani bo’yicha o’quv-uslubiy majmua

Mavzuga oid ilmiy muammo
Bir o’zgaruvchili funktsiyalar uchun «teng o’lchovli funktsiyalar» tushunchasi kiritilgan va bunga doir ilmiy tekshirishlar olib borilgan.
Endi ko’p o’zgaruvchili funktsiyalar uchun bu masala muammo bo’lib turibdi.
II. Amaliy mashg’ulot : O’lchovli funktsiyalar va ularning xossalariga doir masalalar yYechish.
Ajratilgan vaqt 8 soat.
Dars maqsadi:
1. O’lchovli funktsiyalar xossalarini o’rgatish.
Identiv o’quv maqsadi:
1. O’lchovli funktsiya xossalariga doir masala echa oladi.
2. O’lchovli funktsiyalar ketma-ketligining biror ma’noda yaqinlashishdan boshqa bir ma’noda yaqinlashishini keltirib chiqara oladi.
3.1. Zaruriy tushunchalar.

O’lchovli E to’plamda berilgan f(x) funktsiya va ixtiyoriy aR₁ son uchun

E(fa){xE : f(x)a}

to’plam o’lchovli bo’lsa, u holda f(x) E to’plamda o’lchovli funktsiya deyiladi.

Agar
{xE,f(x)}0

bo’lsa, u holda E to’plamda berilgan f(x) funktsiya deyarli hamma joyda chekli deyiladi.

Agar

bo’lsa, u holda {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligi E to’plamda f(x) funktsiyaga deyarli hamma joyda yaqinlashuvchi deyiladi.

Agar ixtiyoriy 0 uchun

bo’lsa, u holda {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligi E to’plamda berilgan f(x) funktsiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashadi deyiladi.

Agar f(x) va (x) funktsiyalar E o’lchovli to’plamda berilgan bo’lib
{xE: f(x)(x)}0
bo’lsa, u holda f(x) va (x) funktsiyalar E to’plamda ekvivalent deyiladi va f(x)∾(x) deb belgilanadi.
2. Asosiy teoremalar
3.1. Teorema Agar f(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli bo’lsa, u holda bu funktsiya E to’plamning o’lchovli kism to’plamida o’lchovli bo’ladi.
3.2. Teorema Agar f(x) va g(x) funktsiyalar E to’plamda o’lchovli bo’lsa,u holda

funktsiyalar E to’plamda o’lchovli bo’ladi.

3.3.Teorema Agar o’lchovli va deyarli hamma joyda chekli {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligi E to’plamning deyarli hamma joyida f(x) funktsiyaga yaqinlashsa, u holda bu f(x) funktsiya E to’plamda o’lchovli bo’ladi.
3.4.Teorema Agar o’lchovli funktsiyalar {f_n(x)} ketma-ketligi E to’plamning deyarli hamma joyida f(x) funktsiyaga yaqinlashsa, u holda bu ketma-ketlik shu f(x) funktsiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashadi.
3.5.Teorema (F.Riss). O’lchov bo’yicha f(x) ga yaqinlashuvchi xar qanday {f_n(x)} funktsiyalar ketma-ketligidan shu f(x)ga deyarli hamma joyda yaqinlashuvchi qismiy

ketma-ketliklarni (xar xil bo’lishi mumkin) ajratish mumkin.
3.6.Teorema (D.F.Egorov, 1911 yil). Agar o’lchovli funktsiyalar {f_n(x)} ketma-ketligi E to’plamning deyarli hamma joyida f(x) funktsiyaga yaqinlashsa, u holda 0 uchun shunday E_ (E_ E) o’lchovli kismiy to’plam mavjud bo’lib kuyidagilar bajariladi:
1) _
2)E_ to’plamda {f_n(x)} ketma-ketlik f(x) funktsiyaga tekis yaqinlashadi.
3.7.Teorema (N.N.Luzin,1913y). [a,b] kesmada berilgan f(x) funktsiya o’lchovli bo’lish uchun 0 uchun [a,b] kesmada shunday (x) uzuluksiz funktsiya mavjud bo’lib

bo’lishi zarur va kifoya.