Fani bo’yicha o’quv-uslubiy majmua

IV-modul
Mavzu: Lebeg integrali.

Ajratilgan vaqt 10 soat ma’ruza, 8 soat amaliy mashg’ulot

Asosiy savolar:

1. Lebeg integrali va ularning xossalari.
2. Lebeg integrali ostidan limitga o’tish.
3. Riman va Lebeg integralini solishtirish.
4. Lp-sinflar va asosiy tengsizliklar.
Ma’ruzaga oid ta’yanch tushinchalar va iboralar:
Dirixle funktsiyasi, quyi va yuqori yig’indi, Lebeg integrali, Lebeg teoremasi, mavjudlik sharti, deyarli uzluksizlik, zarur va kifoyali shart, additivlik, to’g’ri ko’paytma, Fubin teoremasi.

Mavzuga oid muammolar:

1. To’plam bo’yicha Lebeg integrali.
2. Riman va Lebeg integrallarining mavjudligini aniqlash.

1-savol bo’yicha dars maqsadi:

1. Lebeg integralini bayon qilish.

Identiv o’quv maqsadi:

1. To’plam bo’yicha Lebeg integralini izoxlaydi.
2. Lebeg integralini xossalarini izoxlaydi.
1-asosiy savol bayoni :

Avvalo Lebeg integralini segmentdagi o’lchovli E to’plamning xarakteristik funktsiyasi uchun aniqlaymiz. Ushbu Funktsiyaning E to’plamning xarakteristik funktsiyasi deyiladi. (x) funktsiyaning Lebeg integrali deb m(E) songa (ya’ni E to’plamning o’lchoviga ) aytiladi va quydagicha

belgilanadi.
Ushbu

funktsiya uchun Lebeg integralini

tenglik bilananiqlaymiz. Umumiy xolga snish uchun A va B bilan o’lchovli E to’plamda aniqlangan funktsiyaning mos ravishda aniq quyi va aniq yuqori chegaralarini belgilaymiz xamda segmentni quyidagi qismga bo’lamiz.

Sungra bilan
Tengsizlikni kanoatlantiruvchi x nuktalardan iborat tuplamni belgilaymiz. Funktsiya ulchovli bulganligi uchun tuplamlar ulchovli buladi. Endi ushbu

yig’indilarni tuzamiz (s va S ni mos ravishda kuyi va yukori

yig’indilar deyiladi) va kuyidagi ta’rifni kiritamiz:
Ta’rif.Agar nolga intilganda s va S yig’indilarning limiti mavjud bo’lib, bir-biriga teng bo’lsa va bu limit nuqtalarini tanlab olishga bogliq bo’lmasa, u holda bu limitni funktsiyaning E to’plamdagi Lebeg integrali deyiladi va bu integral yuqoridagi xusussiy xoldagi kabi ushbu

ko’rinishda belgilanadi.