Fan va texnikaning, xususan, iqtisodiyot muammolarini tahlil qilishda

1) 1

va 2 ildizlar

haqiqiy

va

turlicha

bo`lsin. U

holda

1x

2 x

y1  e , y2  e

yechimlar (5) tenglamaning fundamental yechimlari

sistemasini tashkil qiladi. Umumiy yechim esa quyidagi ko`rinishda bo`ladi:

1x

2 x

y(x)  C1e  C2e

4-misol. y   8 y  7 y  0 tenglama umumiy yechimini quring.

 2  8  7  0

Yechish. Xarakteristik tenglama

ildizlari

ko`rinishga ega va uning

x

7 x

1  1, 2  7. Natijada, chiziqli erkli y1  e ; y2  e yechimlarni olamiz.

Tenglamaning umumiy yechimi:

y  C1e  C2e . ►

x

7 x

1

2

1    i; 2    i

2)

va

ildizlar

kompleks sonlar bo`lsin, bu erda

  0. Ildizlarga mos yechimlar:

(  i ) x

(  i ) x

z1  e

, z2  e

.

1  2 bo`lganidan, ular chiziqli erkli. Eyler formulasidan foydalanib,

z1  e cos  x  i sin  x, z2  e cos  x  i sin  x 

funksiyalarni olamiz. Funksiyalarning quyidagi chiziqli kombinatsiyalarini tuzamiz:

 x

 x

 1

 1



2 

 z

  e x sin  x.

z  z  e x cos  x, y

y

 z

1

1

2

1 2

2

2i

y1; y2 funksiyalar (5) tenglamaning haqiqiy yechimlari bo`lib, chiziqli erklidir.

Natijada, umumiy yechim

y  C1e cos  x  C2e sin  x  e C1 cos  x  C2 sin  x 

 x

 x

 x

ko`rinishda yoziladi.

5-misol. y   6 y 10 y  0 tenglama umumiy yechimini toping.

Yechish. Xarakteristik tenglama

 2  6 10  0

bo`lib, uning ildizlari 1  3  i, 2  3  i. Shunday qilib, xususiy yechimlar

3 x

3 x

y1  e cos x,

y2  e sin x.

Umumiy yechim:

y  e3 x C cos x  C sin x . ►

1

2

3) 1

deyiladi.

va 2

U

ildizlar o`zaro teng va haqiqiy. 1  2   ildizni ikki ildiz

holda

fundamental

yechimlar

sistemasi

sifatida

 x

 x

y1 (x)e

y2 (x)  xe chiziqli erkli funksiyalarni olish mumkin. Shunday qilib,

umumiy yechim

y  C1e  C2 xe  e C1  C2 x .

 x

 x

 x

6-misol. y   4 y  4 y  0 tenglama umumiy yechimini toping.

Yechish. Xarakteristik tenglama  2  4  4  0 ;

Umumiy yechim

y  e2 x C  C x . ►

    2.

1 2

1 2

31.4. Bir jinsli bo`lmagan ikkinchi

koeffitsientli chiziqli differensial tenglama.

tartibli o`zgarmas

Umumiy holda (4) tenglamaning biror – bir xususiy yechimini ixtiyoriy

o`zgarmasni variatsiyalash usulida qurish mumkin. Bu usulni o'rganish

talabalarga mustaqil ish sifatida tavsiya etamiz. Tenglamaning o'ng tomoni

maxsus shaklga ega bo'lgan holatlarga to'xtalib o'tamiz.

1) Agar tenglamaning o'ng tomoni o'zgarmas f (x)  M bo'lsin. U holda

M

a) y

 agar q  0 bo'lsa;

q

M

p

xususiy

b) y

 x agar q  0, p  0 bo'lsa;

xususiy

2 – TEOREMA

Bir jinslimas (4) differensial tenglamaning umumiy yechimi ushbu

tenglama biror y0  x  xususiy yechimi va (4) ning bir jinsli (5) tenglamasi umumiy

yechimlari yig`indisiga teng.

y  yxususiy  ybir jinsli .

M

2

x2

c) y



agar p  0, q  0 bo'lsa.

xususiy

2) tenglamaning o`ng tomoni f  x  axm  bxm1  ...  l ko`rinishda

bo`lin. U holda tenglamaning xususiy yechimini qurish quyidagicha amalga

oshiriladi:

a) Agar (8) xarakteristik tenglamaning ildizlari noldan farqli bo`lsa, xususiy

yechim y  Axm  Bxm1  ...  L ko`rinishda qidiriladi.

b) Agar

(8) xarakteristik tenglamada nol k karrali ( k  1 yoki k  2 ) ildiz

y  xk ( Axm  Bxm1  ...  L)

bo`lsa, xususiy yechim

ko`rinishda qidiriladi.

tomoni f  x  (axm  bxm1  ...  l)e x

3)

Tenglamaning

o`ng

ko`rinishda bo`lsin, u holda tenglamaning xususiy yechimini qurish quyidagicha

amalga oshiriladi:

a) Agar  (8) xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri bo`lmasa, xususiy

yechim y  ( Axm  Bxm1  ...  L)e x ko`rinishda qidiriladi.

b) Agar  (8)

xarakteristik tenglamaning k karrali ( k  1 yoki k  2 ) ildizi

yechim y  xk ( Axm  Bxm1  ...  L)e x ko`rinishda qidiriladi.

holatarda yechimdan hosilalarni hisoblab, (4) tenglamaga

bo`lsa, xususiy

2 va 3

qo'yiladi.

Hosil

bo'lgan

ayniyatda

o'xshash

hadlarding

koeffitsientlari

tenglamalar

taqqoslanib, A, B,..., L no'malum

koeffitsientlarga

nisbatan

sistemasi hosil qilinadi va bu sistemani yechib noma'lum koeffitsientlar topiladi.

4) Tenglamaning o`ng tomoni f  x  e x (a cos  x  bsin  x)

ko`rinishda

bo`lsin, u holda tenglamaning xususiy yechimini qurish quyidagicha amalga

oshiriladi:

a) Agar    i son (8) xarakteristik tenglamaning ildizlaridan biri bo`lmasa,

xususiy yechim y  e x ( Acos  x  B sin  x) ko`rinishda qidiriladi.

b) Agar    i (8) xarakteristik tenglamaning ildizi bo`lsa, xususiy yechim

y  x e x ( Acos  x  B sin  x) ko`rinishda qidiriladi.

y   6 y  8 y  3x 1ex

7-misol.

toping.

tenglamaning xususiy yechimini

Yechish. Ushbu holda   1. Xarakteristik tenglama

 2  6  8  0

 C e2 x  C

e4 x

bo'lib, uning ildizlari 2 va 4 ga teng. y

.

bir jinsli 1

2

Tenglamaning xususiy yechimini y  ax  b ex ko`rinishda qidiramiz.

Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:

y  aex  ax  bex  ax  a  bex

y  aex  ax  a  bex  ax  2a  bex

y, y, y  ifodalarni tenglamaga qo`yiladi va ga qisqartirilgandan so`ng:

ax  2a  b  6ax  a  b  8 ax  b  x 1

yoki

3ax  4a  3b  3x 1.

Mos koeffitsientlarni tenglab, a  1, b  1 natijani olamiz. Izlanayotgan

xususiy yechim:

e x

  x 1ex .

y

xususiy

Tenglamaning umumiy yechimi





y  C1e  C2e  x 1 e . ►

2 x

4 x

x

8-misol.

yechimini toping.

5) y" 4 y ' 5 y  12sin x  4cos x tenglamaning

xususiy

Yechish. Xarakteristik tenglamani yechamiz.

 2  4  5  0,

  2  i . Bizning holatda   0 va   1 bo'lib, xarakteristik tenglamaning

ildizi emas. Demak, xususiy yechim quyidagicha qidiriladi.

y  Asin x  B cos x .

Funksiya hosilalarini aniqlaymiz:

y  Acos x  B sin x

y   Asin x  B cos x .

y, y, y  ifodalarni tenglamaga qo`yamiz va soddalashtiramiz

( Asin x  B cos x)  4( Acos x  B sin x)  5( Asin x  B cos x)  12sin x  4cos x

yoki

(4 A  4B)sin x  (4B  4 A) cos x  12sin x  4cos x .

Bundan

4 A  4B  12,

4B  4 A  4,



A  1, B  2 . Xususiy yechim

yxususiy

yoki

 sin x  2cos x.

Demak, umumiy yechim

y  e (C1 sin x  C2 cos x)  sin x  2cos x ,

bu yerda C1 va C2 ixtiyoriy o'zgarmas sonlar. ►

Izoh. Agar o`zgarmas koeffitsientli n  tartibli chiziqli

2 x

( n)

( n1)

y 

pn1 y

 ...  p0 y  f (x)

differentsial tenglama o`rganilayotgan bo`lsa, uning ymumiy

uchun

yechimini

qurish

n

n1

 

pn1

 ...  p0  0

xarakteristik tenglamadan foydalaniladi. Xususiy yechimni topish usuli ikkinchi

tartibli tenglama holidagi bilan bir xil.

O‘z- o‘zini tekshirish uchun savollar

1. Ikkinchi tartibli o‘zgarmas koeffitsiyentli chiziqli differentsial tenglama deb,

qanday ko‘rinishdagi tenglamaga aytiladi?

2.

3.

4.

Bir jinsli tenglamaning farqli jihati nimadan iborat?

Chiziqli – bog‘liq, chiziqli erkli funktsiyalarni ta‘riflang.

Ikki funktsiya uchun Bronskiy aniqlovchisini yozing va uni nimani

aniqlashda qo‘llash mumkin?