Fan va texnikaning, xususan, iqtisodiyot muammolarini tahlil qilishda

31.3.

Bir jinsli ikkinchi tartibli o`zgarmas koeffitsientli chiziqli

differensial tenglamalar.

2.

M. Hoy, J.Livernois et.al. Mathematics for Economics. The MIT Press,

London& Cambridge, 2011. 915 p.

Biz (3) tenglamani f funksiya chiziqli va koeffitsientlari o`zgarmas

bo`lgan holi bilan tanishamiz. Bunday tenglamalar ikkinchi tartibli o`zgarmas

koeffitsientli chiziqli differensial tenglama deb ataladi va quyidagi ko`rinishga

ega bo`ladi:

 x

y   py  qy  f

(4)

Agar (4) tenglamada f  x  0 bo`lsa, u holda

y   py  qy  0

tenglamaga (4) tenglamaning bir jinsli tenglamasi deyiladi.

(5)

Bir jinslimas (4) tenglama qaralayotganda uning mos bir jinsli (5)

tenglamasi muhim ahamiyat kasb etadi. (5) tenglamaning yechimlar to`plami

o`ziga xos xususiyatlarga egaligidan uni maxsus o`rganish maqsadga muvofiq.

Dastlab, chiziqli erkli va chiziqli bog`liq funksiyalarga to`xtalamiz.

Vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi, chiziqli erkliligi yoki chiziqli bog`liqligi

tushunchalarini ixtiyoriy funksiyalar uchun ham qo`llash mumkin.

Bir nechta funksiyalardan iborat sistemaning chiziqli erkliligi

aniqlash usullaridan biri Vronskiy aniqlovchisi bilan bog`liq.

masalasini

1-TA’RIF

Berilgan y1  x, y2  x,..., yn  x  funksiyalarning c1, c2 ,..., cn o`zgarmas

koeffitsientli chiziqli kombinatsiyasi deb,

y  x  c1 y1  x   c2 y2  x   ...  cn yn  x  (6)

tenglikka aytiladi. Agar y1  x, y2  x,..., yn  x  funksiyalardan istalgan biri

qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalanmasa, u holda bu

funksiyalar sistemasi chiziqli erkli sistema deyiladi.

Aksincha, agar qaralayotgan funksiyalardan hech bo`lmaganda bittasi

qolganlarining chiziqli kombinatsiyasi ko`rinishida ifodalansa, u holda bu

funksiyalar sistemasi chiziqli bog`liq deyiladi.

y1  x,..., yn (x) funksiyalar sistemasi uchun, Vronskiy aniqlovchisi

y1 ( x)

...

y( n1) ( x)

...

...

...

yn ( x)

...

y( n1)

W ( x)  W [ y1,..., yn ] 

(7)

1

n

ko`rinishga ega bo`ladi.

Aniqlovchi xossalariga ko`ra, agar y1  x,..., yn (x) funksiyalar chiziqli

bog`liq bo`lsa, Vronskiy aniqlovchisining qiymati x ning barcha qiymatlarida

nolga teng.

Agar x ning hech bo`lmaganda bitta qiymatida W (x)  0 bo`lsa,

y1  x ,..., yn ( x) funksiyalar chiziqli erklidir.

Quyidagi funksiyalarning chiziqli erkli ekanligini Vronskiy aniqlovchisi

yordamida isbotlash mumkin.