Fan: Biznes Matematika

TOSHKENT DAVLAT IQTISODIYOT UNIVERSITETI
SAMARQAND FILIALI


Mustaqil ta'lim

Fan:Biznes Matematika


Mavzu:SHARTLI EKSTRIMUM MASALASINI LAGRANJ METODI YORDAMIDA SHARTSIZ EKSTRIMUM MASALASIGA KELTIRIB MASALANI OPTIMAL YECHIMLARINI TOPISH


Bajardi:Abdrimova Mahliyo
Qabul qildi:Ubaydullayev U


REJA:

1. 
   Shartsiz optimallashtirish masalasi.
   
2. 
   Shartlari tenglamalardan iborat bo‘lgan shartli ekstremum masalasi va uni yechish uchun Lagranj usuli.
   

Shartsiz optimallashtirish masalasi
Faraz qilaylik, shartsiz ekstremum masalasining yechimini topish talab qilingan bo‘lsin, ya’ni

funksiyaning maksimumini (minimumini)

nuqtalarda qidirish kerak bo‘lsin.
funksiya birinchi tartibli hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo‘lsa, uning ekstremumi quyidagi tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi:
(1)
Demak, berilgan funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lishi uchun bu nuqta (1) sistemaning yechimi bo‘lishi kerak.

nuqtani ko‘rinishda yozamiz, bu yerda birlik vektorlar.
U holda shartni qanoatlantiruvchi uchun
(2)
o‘rinli bo‘ladi. Bundan
(3)
va
(4)
(3) va (4) tengsizliklardan va da limitga o‘tib, mos ravishda va tengsizliklarni hosil qlishi mumkin. Bulardan esa
(5)
tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Xuddi shunday yo‘l bilan nuqta funksiyaga lokal minimum beruvchi nuqta bo‘lgan holda ham (5) o‘rinli ekanligini krsatish mumkin. (5) tengliklar nuqtada funksiya lokal maksimum yoki minimumga ega bo‘lsa, shu nuqtada undan ta noma’lumlar bo‘yicha olingan xususiy hosilalar 0 ga teng bo‘lishi kerakligini ko‘rsatadi. Lekin bundan (1) shartni qanoatlantiruvchi har qanday nuqta ham funksiyaga lokal minimum yoki maksimum qiymat beradi degan xulosa kelib chiqmaydi. Masalan, bir argumentli funksiya uchun shart egilish nuqtasida ham o‘rinli bo‘lib, bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo‘lib, bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin. Xuddi shuningdek, ikki argumentli funksiya uchun shartlar egar nuqtada ham bajarilib, bu nuqtada funksiya ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin.
(1) sistemaning yechimlarini statsionar nuqtalar deb ataymiz. Berilgan funksiya ekstremumga erishadigan nuqta statsionar nuqta bo‘ladi, lekin har qanday statsionar nuqtada ham funksiya ekstremumga erishavermaydi.
Demak, (1) shart funksiya ekstremumning mavjudligi uchun zaruriy shart, lekin u yetarli shart emas. Quyidagi teorema statsionar nuqtaning birinchi va ikkinchi tartibli xususiy xolisalar uzluksiz bo‘lgan o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyaning ekstremal nuqtasi bo‘lishi uchun yetarlilik shartini ko‘rsatadi.
Teorema. statsionar nuqta ekstremal nuqta bo‘lishi uchun shu nuqtada quyidagi Gesse matritsasi deb ataluvchi

matritsa musbat aniqlangan (bu holda -minimum nuqta) yoki manfiy aniqlangan (bu holda - maksimum nuqta) bo‘lishi yetarlidir.
I s b o t i . Teylor teoremasiga asosan, da
(6)
bu yerda o‘lchovli vektor ustun, esa o‘lchovli vektor qator va yetarli darajada kichik son, - Gesse matritsasining nuqtadagi qiymati.

o‘lchovli gradiyent deb ataluvchi vektor.
nuqta statsionar nuqta bo‘lganligi uchun bu nuqtada (5) o‘rinli bo‘ladi, demak, bu holda
(7)
(6) va (7) dan
(8)
Faraz qilaylik, minimum nuqta bo‘lsin. U holda

tengsizlik ixtiyoriy uchun o‘rinli bo‘ladi, demak, bu holda

funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uzluksiz bo‘lgani uchun miqdor va nuqtalarda bir xil ishorali bo‘ladi va kvadratik formadan iborat. Shuning uchun bu formaning (jumladan formaning) musbat bo‘lishi ning musbat aniqlangan matritsa bo‘lishiga bog‘liq.
Demak, statsionar nuqta minimum nuqta bo‘lishi uchun shu nuqtadagi Gesse matritsasi musbat aniqlangan bo‘lishi yetarli ekan. Xudi shunday yo‘l bilan statsionar nuqtaning maksimum nuqta bo‘lishi uchun ning manfiy aniqlangan bo‘lishi yetarli ekanligini ko‘rsatish mumkin.

Matematik analiz kursida o‘rganiladigan asosiy va amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyatga ga bo‘lgan funksiyalar sinflaridan (to‘plamlaridan) biri-bu uzluksiz funksiyalar sinfi hisoblanadi. Oldingi bobda biz differensiallanuvchi funksiyalar sinfi uzluksiz funksiyalar sinfining qismi bo‘lishini ko‘rsatgan edik. Differensiallanuvchi funksiyalar o‘ziga xos ahamiyatga ega, chunki ko‘pgina tatbiqiy masalalarni yechish hosilasi mavjud funksiyalarni o‘rganishga keltiriladi. Bunday funksiyalar ba’zi bir umumiy xossalarga ega. Bu xossalar ichida o‘rta qiymat haqidagi teoremalar nomi bilan birlashgan teoremalar alohida ahamiyatga ega. Ushbu teoremalar kesmada o‘rganilayotgan funksiya uchun u yoki bu xossaga ega bo‘lgan kesmaga tegishli c nuqtaning mavjudligini ta’kidlaydi.