Fan: Biznes Matematika

2.Shartlari tenglamalardan iborat bo‘lgan shartli ekstremum masalasi va uni yechish uchun Lagranj usuli

Faraz qilaylik biron bir masalani yechish talab qilinsin, ya’ni

tenglamalar sistemasini qanoatlantiruvchi va

funksiyaga maksimum (minimum) qiymat beruvchi nuqtani topish kerak bo‘lsin.
va funksiyalar va ularning hamma noma’lumlar bo‘yicha olingan xususiy hosilalari uzluksiz deb faraz qilamiz. Noma’lumlarga nomanfiylik sharti qo‘yilmaganda masalani Lagranjning aniqmas ko‘paytuvchilar usulini qo‘llab yechish mumkin. Lagranj usulining g‘oyasini quyidagi xususiy holda ko‘ramiz. Faraz qilaylik, quyidagi masala berilgan:

(9)
va funksiyalar uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyalar bo‘lsin.
nuqta tenglamani qanoatlantirib, funksiyaga lokal maksimum (minimum) qiymat berishi uchun qanday zaruriy shartni qanoatlantirishi kerak ekanligini ko‘ramiz.
nuqtada xususiy hosilalardan kamida biri noldan farqli, masalan, bo‘lsin, u holda oshkormas funksiyalar haqidagi teoremaga asosan ning kichik atrofii mavjud bo‘ladiki, bu atrofda tenglamani ga nisbatan yechish mumkin, ya’ni bu yerda funksiya nuqta atrofida uzluksiz differensiallanuvchidir.
Har bir nuqta masalaning mumkin bo‘lgan planlar to‘plami ga tegishli. Shuning uchun funksiyadan ham ni yo‘qotish mumkin, ya’ni

Lekin, nuqtada funksiya shartni qanoatlantiruvchi lokal maksimumga (minimumga) ega bo‘lsa, ning atrofdagi har qanday uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bu holda funksiya da shartsiz maksimum (minimum) ga erishadi.
funksiya ning atrofida differensiallanuvchi va da shartsiz ekstremumga erishgani uchun bo‘ladi.
funksiyani murakkab funksiya sifatida differensiallab, quyidagini hosil qilamiz:

Oshkormas funksiyalarga doir teoremaga asosan:


Demak, quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi:


belgilash kiritsak, nuqtaning ekstremal nuqta bo‘lishi uchun quyidagi zaruriy shartlarni hosil qilamiz:
(10)
(10) sistema uchta noma’lumli uchta tenglamalar sistemasidan iborat. Bu sistemaning yechimidan iborat bo‘lgan nuqtada funksiya lokal maksimumga (minimumga) erishmasligi ham mumkin, lekin funksiyaga shart bajarilganda lokal maksimum (minimum) qiymat beruvchi nuqta albatta (10) sistemaning yechimi bo‘lishi kerak. Demak (9) masalani yechimini topish uchun (10) sistemaning hamma yechimlarini topish kerak. (10) sistema tenglamalari nuqtaning berilgan (9) formadagi masalaning yechimi bo‘lishining zaruriy shartlaridir. Bu shartlarni quyidagi formal usul Bilan ham hosil qilish mumkin.Buning uchun

funksiyani tuzamiz. Bu funksiyadan va lar bo‘yicha xususiy hosilalar olib, ularni nolga tenglaymiz:

Hosil bo‘lgan sistema (10) sistemaning o‘zidan iborat. Bu yerda - Lagranj funksiyasi, - Lagranj ko‘paytuvchilari deb ataladi.

Lagranj usulining amaliy ahamiyati shundan iboratki, bunda bir o‘zgaruvchilarni boshqalari orqali ifodalash yoki hamma o‘zgaruvchilarning o‘zaro bog‘liq emasligini nazarga olish talab qilinmaydi hamda shartli optimallashtirish masalasini shartsiz optimallashtirish masalasiga keltiriladi. Bu usulning kamchiligi ba'zi sistemani yechish murakkabligi Bilan bog‘liq. Bundan tashqari shunday masallar ham uchraydiki, ularning ekstremal planlari mavjud bo‘lishiga qaramay mos biron sistema yechimga ega bo‘lmaydi.

.
1. Agar tada matritsaning rangi va matritsaning rangi ga teng bo‘lib, ya’ni bajarilsa, berilgan masala normal masala bo‘ladi va deb qabul qilish mumkin.
2. nuqtada tengsizlik bajarilganda (13) shartni qanotalantiruvchi lar orasida 0 dan farqlilari bo‘lishi uchun deb qabul qilish kerak.
3. Agar nuqtada tenglik bajarilsa, bir qiymatli aniqlanadi.
4. nuqtada yoki tengsizliklar o‘rinli bo‘lganda esa Lar ko‘p qiymatli aniqlanadi.
Lagranj ko‘paytuvchilari iqtisodiy ma’noga ekanini ko‘rsatish uchun tenglamalar sistemasining ozod hadlari ma’lum bir intervalda o‘zgaruvchan bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda funksiyaga ekstremal qiymati beruvchi nuqta ham o‘zgaradi. Bu nuqtaning koordinatalari vektorni funksiyasidan iborat, ya’ni

Buni nazarga olib tuzilgan Lagranj funksiyasi ham vektorning funksiyasidan iborat bo‘ladi, ya’ni

Bu funksiyadan bo‘yicha hosila olib topamiz:
.
Bundan (11) ga asosan:

.
bo‘lganligi sababli

Bu tenglik Lagranj ko‘paytuvchilari ozod hadlarning (resurslarning) o‘zgarishi maqsad funksiyaga qanday ta’sir ko‘rsatishini bildiradi. ning miqdoriga qarab har bir parametrni optimal yechimga qo‘shgan hissasini aniqlash mumkin:

yoki

Agar bo‘lsa, , ya’ni parametrni bir birlikka o‘zgartirish natijasida maqsad funksiyaning qiymati birlikka o‘zgaradi.
Shunday qilib, larning qiymatlari ma’lum bo‘lsa, masalaning har bir chegaraviy shartining optimal yechim ga qo‘shgan hissasini aniqlash mumkin. Jumladan bo‘lganda tegishli tenglama masala uchun ahamiyatsiz bo‘ladi. Bunday tenglamani tashlab ham yuborish mumkin. Agar bo‘lsa, unga tenglamada ozod hadni ma’lum bir miqdorga o‘zgartirsak, funksiya bunga nisbatan marta ko‘p miqdorda o‘zgarishini ko‘rsatadi.