Fakulteti kafedrası

Tastıyıq. Ekenin aytıw kerek, eger funksiya kespede uzliksiz bolsa, Ol halde funksiya sol kespede óziniń eń úlken M hám eń kishi m bahalarınaerisedi. Qaralip atirg‘an Funksiya ushın eki hal bolıwı múmkin.

1. M=m, bul halde kespede =сonst ha‘m f`(x)=0 boladi. Ayqınki, Teńlemeni qánaatlantiradin noqat retinde di alıw múmkin.

2. M>m, bul holde teoremaniń f(a)=f(b) Shártidan funksiya M yamasa m bahalarınan keminde birin [a, b] kespeniń ishki noqatında qabıllawı kelip shıǵadı. Anıqlıq ushın f(c)=m bolsin. Eń kishi bahanıń tariypine kóre ushin f(x)³ f(c) teńsizlik o`rinli bo`ladi.

Endi Ekenligin kórsetemiz. Teoremaning ekinshi shártine kóre f (x) funksiya (a;b) intervaldıń hár bir x noqatında chekli tuwındına iye. Bul shárt, atap aytqanda c noqat ushın da orınlı. Sonday eken, Ferma teoremasi shártleri atqarıladı. Bunnan ekenligi kelip shıǵadı.

bolǵan halda teorema joqarıdaǵı sıyaqlı tastıyıqlanadı.

Roll teoremasiga tómendegishe geometriyalıq talqin beriw múmkin (20-rasm). Eger [a, b] kespede úzliksiz, (a,b) intervalda Differensiallanushhi f (x) funksiya kespe úshlarinde teń bahalar qabıl qilsa, ol halde f (x) funksiya grafiginda abssissası x=c bolǵan sonday C noqat tabıladıki, sol noqatda funksiya grafigiga ótkerilgen urınba abssissalar oǵına parallel boladı.

Esletpe. Roll teoremasining shártleri jetkilikli bolıp, zárúrli

shárt emes. Mısalı, 20 -súwret

1) Funksiya ushın teoremaning 3-shárti atqarılmaydı.

bıraq boladi.

2) Funksiya ushın Roll teoremasiniń barlıq Shártleri atqarılmaydı, bıraq (-1;0) dıń qálegen noqatında boladı.

Lagranj teoremasi, Koshi teoremasi

_{Teorema (Lagranj teoremasi). Eger funksiya kespede úzliksiz hám (a, b) de shekli f' (x) tuwındı ámeldegi bolsa, ol halde (a, b) de keminde bir sonday c noqat ámeldegi bolıp,} (1.1)

Teńlik orınlı boladı.

_{Tastıyıq. Tómendegi járdemshi funksiyanı tuzip alamız :}

Bul F (x) funksiyanı kespede úzliksiz hám (a, b) de tuwındg’a iye bolǵan f (x) hám x funksiyalardıń sızıqlı kombinatsiyası retinde qaraw múmkin. Bunnan F (x) funksiyanıń kespede úzliksiz hám (a, b) de tuwındına iye ekenligi kelip shıǵadı. Sonıń menen birgeF(a)= F(b)=0,

<sub>Sonday eken F (x) funksiya Roll teoremasining barlıq shártlerin qánaatlantıradı.

Sonday eken, Roll teoremasiga kóre (a, b) intervalda keminde bir sonday s noqat ámeldegi boladı, F' (c) =0 boladı

Sonday etip,</sub>

Hám bunnan bolsa tastıyıq etiliwi kerek bolǵan (1) formula kelip shıǵadı. Teorema tastıyıq boldı.

(1.1) Formulanı geyde Lagranj formulası dep da júritiledi. Bul formula

(1.2)

Kóriniste de jazıladı.

Endi Lagranj teoremasining geometriyalıq mánisine toqtalamiz. f(x) Funksiya Lagranj teoremasining shártlerin qánaatlantirsi deylik (21-súwret). Funksiya grafigining Noqatlar arqalı kesetuǵın ótkeremiz, onıń múyesh koefficiyenti

boladi.

Tuwındınıń geometriyalıq mánisine qaray f`(c) - bul f(x) Funksiya grafigiga onıń (s;f(s)) Noqatında ótkerilgen urınbanıń múyesh koefficiyenti: Sonday eken, (1. 1) formula (a, b) intervalda keminde bir sonday c noqat bar ekenligin kórsetedi, f (x) funksiya grafigi noqatda ótkerilgen urınba AB kesetuǵınǵa paralell boladı.

Tastıyıq etilgen (1. 1) formulanı basqasha kóriniste de jazıw múmkin.

Onıń ushın Teńsizliklerdi itibarǵa alıp, Belgilew kiritemiz, ol halda Bolıwı ayqın. Nátiyjede (1) Formula bul Kóriniske keledi.

Eger (1) formulada Almastırıwlar atqarsak, ol

x (1.3)

bul jerde Kóriniske keledi. Bul formula argument arttırıwı menen funksiya arttırıwın baylanıstıradı, usınıń sebepinen (1. 3) formula chekli arttırıwlar formulası dep ataladı.

Eger (1. 1) Lagranj formulasında dep alsaq, Roll teoremasi kelip shıǵadı, yaǵnıy Roll teoremasi Lagranj teoremasining jeke holi eken.

Mısal. Bul [0, 2] kespede Funksiya ushın Lagranj formulası daǵı c dıń ma`nisin tabıń.

Sheshiw. funksiyanıń kesma úshlerindegi bahaların hám tuwındın esaplaymiz. Alınǵan nátiyjelerdi Lagranj formulasına qóyamız, nátiyjede

yoki Kvadrat teńlemeni payda etemiz. Bul teńlemeni sheshemiz: = . Tabılǵan túbirlerden tek _{Qaralayotgan kesmaga tiyisli. Sonday eken},

c= ekan.

Lagranj teoremasi óz gezeginde tómendegi teoremaniń jeke joli boladı.

Teorema (Koshi teoremasi). Eger [a, b] kespede f (x) hám g (x) berilgen bolıp,

1) da uzliksiz;

2) intervalda mavjud, hamda Bolsa, ol halda hesh bolmaǵanda bir sonday c (a) noqat topilib,

(1.4)

Teńlik orınlı boladı.

Tastıyıq. Ayqınki, (1. 4) teńlik mániske ıyelewi ushın Bolıwı kerek. Bul bolsa teoremadagi Shártden kelip shıǵadı. Haqıyqatlıqtan da, eger Bolsa, ol halde g(x) Funksiya Roll teoremasining barlıq shártlerin qánaatlantirib, qandayda bir noqat bolar edi. Bul da ; Shártge keri bolıp tabıladı. Sonday eken,

Jumaq

Vektor — tuwrı sızıqtıń jóneliske iye bolǵan kespeni. Bul kespe úshlarinan biri v. dıń bası, ekinshisi bolsa aqırı boladı. Bası menen aqırı ústpe-úst túsken v. nol vektor dep ataladı. v., ádetde, qara háripler yamasa ústine strelka qoyılǵan ápiwayı háripler menen kórse-tiledi, mas., bası A noqatda, aqırı v nuqatda bolǵan v. bunday belgilenedi: yamasa a., mat. hám mexanikanıń tek san menen emes, bálki jónelis menen de ańlatpalanatuǵın muǵdarlardı tekseriwshi máseleleri v. túsinigine alıp keledi. Mas., kúsh, tezlik v. muǵdarlar bolıp tabıladı. Uzınlıǵı teń bolıp, baǵdarı birdey bolǵan eki v. bir-birine teń boladı. Aytıp ótilgen v. muǵdarlar -den jılısıw, tezlik, tezleniw sıyaqlılardı keńisliktiń qálegen noqatinan shıqqan v. menen súwretlew múmkin. Bunday v. muǵdarlar erkin vektorlar dep ataladı. Kúsh, múyesh tezlik sıyaqlı v. muǵdarlardı tolıq anıqlaw ushın olardıń san bahaları, baǵdarlarınan tısqarı taǵı tásir sızıqların da biliw zárúr (mas., kúshtı tek sol kúsh baǵdarı boyınsha kóshiriw múmkin). Bunday v. muǵdarlar sırǵanıwshı vektorlar dep ataladı. Keńislik qandayda bir O nuqga málim bolsa, sol nuktaga salıstırǵanda keńislikgi basqa qálegen noqat, mas., M noqat jaǵdaynı OM=g menen anıqlaw múmkin.g vektor M noqattıń radius vektorı dep ataladı. Tegislik yamasa keńislikgi hár qanday v. ni koordinatalar basınan shıqqan dep esaplaw múmkin. Usınıń sebepinen, v. uchining jaǵdayı koordinatalar menen anıqlanadı. Soǵan kóre, hár qanday v. tegislikte eki (x, x2), keńislik ush (lg, *^), hám ólshewli keńislik p ta (xt, xv..., x^ san menen anıqlanadı