Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

2-МАВЗУ: ФУНКЦИОНАЛ ФАЗОЛАР ВА УЛАРНИНГ ХУСУСИЯТЛАРИ
РЕЖА:

1. 
   Функционал фазолар
   
2. 
   Интеграл формалар учун ва фазолар
   
3. 
   Соболев фазолар ва кучсиз (умумлашган) ҳосилалар
   

Таянч сўз ва иборалар: фазо, функционнал фазо, евклид фазоси, нормаланган фазо, Банах фазоси, Соболев фазоси

1. 
   Функционал фазолар
   

Функционал фазолар бу амаллар билан биргаликдаги функциялар мажмуасидир. Масалан,
, (2.1)
бу Ω да узлуксиз бўлган функцияларни ўз ичига олади, бу ерда Ω функцияларнинг аниқланиш соҳаси, яъни Ω = [0, 1]. Бу фазо чизиқли фазодир, чунки ихтиёрий ҳақиқий ва сонлар ва ва функциялар учун га эга бўламиз.
Бир ўлчовли бўлган ҳолда биринчи тартибли ҳосиласи билан узлуксиз функционал фазо кўриниши ва белгиланиши қуйидагича бўлади:
, (2.2)
ва худди шундай m-тартибли ҳосиласи билан узлуксиз функционал фазонинг кўриниши ва белгиланиши эса қуйидагича бўлади:
. (2.3)
Бизга функционал анализ курсидан маълумки, улар бири-бири билан қуйидагича ичма ич жойлашган бўлади:
. (2.4)
У ҳолда да қуйидагини аниқлаймиз
. (2.5)
Масалан, , , ва кўпҳадлар га тегишли, аммо , , каби баъзи бошқа элементар функциялар агар нуқта соҳага тегишли бўлса, фазога тегишли бўлмайди.

Чизиқли нормаланган фазолар. Чизиқли фазоларда элементларнинг бир-бирига яқинлиги деган тушунча йўқ. Кўплаб амалий масалаларни ҳал қилишда элементларни қўшиш ва уларни сонга кўпайтириш амалларидан ташқари, элементлар орасидаги масофа, уларнинг яқинлиги тушунчасини киритишга тўғри келади. Бу бизни нормаланган чизиқли фазо тушунчасига олиб келади. Нормаланган фазолар назарияси С.Банах ва бошқа математиклар томонидан ривожлантирилган.

1-таъриф. Бизга - чизиқли фазо ва унда аниқланган функционал берилган бўлсин. Агар p(x) қуйидаги учта шартни қаноатлантирса, унга норма дейилади:
1)
2) ;
3) .
2-ta'rif. Norma kiritilgan chiziqli fazo chiziqli normalangan fazo deyiladi va elementning normasi orqali belgilanadi.
Agar - normalangan fazoda elementlar jufti uchun

sonni mos qo‘ysak, funksional metrikaning 1-3 aksiomalarini qanoatlantiradi. Analizdagi eng muhim amallardan biri bu limitga o‘tish amalidir. Bu amalning asosida sonlar o‘qidagi ikki nuqta orasidagi masofa tushunchasi yotadi. Analizda kiritilgan ko‘pgina fundamental tuchunchalar sonlar o‘qining algebraik xususiyatlariga bog‘liq emas. Haqiqiy sonlar haqidagi tasavvurimizni to‘plam ma’nosida umumlashtirib, metrik fazo tushunchasiga kelamiz. Metrik fazo tushunchasi hozirgi zamon matematikasida muhim o‘rinni egallaydi.