Электромагнитные колебания Квазистационарные токи

---

Электромагнитные
колебания
Квазистационарные токи. 
Процессы в колебательном 
контуре

---

Колебательный контур
–
цепь состоящая из включенных 
последовательно катушки индуктивности 
L
, конденсатора емкости 
С
и резистора 
сопротивлением 
R
.
Для простейшего колебательного контура 
R
=0.
• Энергия электрического поля запасается 
между обкладками конденсатора С:
• Энергия магнитного поля сосредоточена в 
катушке 
L
:
.
2
2
.
.
C
Q
W
п
эл

.
2
2
2
2
.
.
Q
L
LI
W
п
м




---

Колебательный контур
Если 
R
→ 0, тогда полная энергия:
При замыкании на катушку предварительно 
заряженного конденсатора 
С
в 
колебательном контуре возникают 
свободные 
колебания заряда конденсатора и тока в 
катушке
. 
.
2
2
2
2
const
Q
L
C
Q
W





---

Переменное электромагнитное поле
распространяется в пространстве
со скоростью равной скорости света 
c
= 3
· 10
8
м/с. 
Если 
l
– линейные размеры контура не 
велики (
l
‹‹
c
/ 
ν
, 
ν
–
частота колебаний в 
контуре), то в каждый момент времени 
сила тока во всех частях контура 
одинакова. 
Такой переменный ток называется 
квазистационарным
.

---

Процессы в колебательном контуре
Правило Ленца: индукционный ток в контуре имеет всегда такое 
направление, что создаваемое им переменное магнитное поле препятствует 
изменению магнитного потока, вызвавшему этот индукционный ток.
Когда конденсатор 
С
разрядился, а следовательно, энергия магнитного поля 
и ток в цепи максимальные, то в этот момент ток 
I
начинает убывать. 
Следовательно, магнитное поле в катушке ослабевает, и в катушке возникает 
индукционный ток 
Ii
, который препятствует уменьшению магнитного поля.
Направление 
Ii
совпадает с направлением первоначального тока, и 
положительные заряды продолжают идти в том же направлении, 
заряжая положительно другую обкладку конденсатора 
С
.

---

Закон Ома для контура:
•
U
C
-
разность потенциалов 
(напряжение) на обкладках 
конденсатора 
С
.
• E
S 
-
э.д.с. самоиндукции. 



)
1
(
.
dt
dI
L
S
C
Q
C
U
U
IR
R



E

---

Из закона сохранения заряда следует, 
что сила квазистационарного тока
Уравнение (1): 
дифференциальное уравнение колебаний 
заряда 
Q
в контуре – дифференциальное 
уравнение затухающих колебаний 
.
Q
dt
dQ
I



.
0



C
Q
IR
dt
dI
L






)
2
(
0
1
2
0
2
Q
LC
Q
L
R
Q






---

●
R
=
0 → 
дифференциальное уравнение гармонических 
колебаний
.
Свободные электрические колебания в 
колебательном контуре являются 
гармоническими
.
Уравнение гармонических колебаний:
Q
m
-
амплитуда заряда на конденсаторе 
С
,
ω
0
-
собственная частота гармонических 
колебаний.



0
1
Q
LC
Q




)
3
(
.
cos
0




t
Q
Q
m

---

Из уравнения 
следует
формула Томсона


)
2
(
0
1
2
0
2



Q
LC
Q
L
R
Q




LC
T
LC




2
2
,
1
0
0




---

Уравнение гармонических колебаний:
амплитуда тока. 
Амплитуда напряжения 


)
3
(
.
cos
0




t
Q
Q
m


(4)
2
0
0
0
.
t
cos
I
t
sin
Q
Q
I
m
I
m
m

























LC
Q
I
m
m
.
LC
I
Q
m
m






)
5
(
.
cos
cos
0
0









t
U
t
C
Q
C
Q
U
m
U
m
C
m


.
C
Q
U
m
m



LC
I
C
U
Q
m
m
m

---

Из уравнения 
Амплитуда тока
-
волновое сопротивление 
колебательного контура.
Из уравнений (3), (4), (5) видно, что 
колебания 
I
опережают колебания 
Q
, 
U
на 
π
/2, т.е. когда
I
– max,
Q
, 
U
→ 0.



LC
I
C
U
Q
m
m
m
,
в
m
m
m
m
R
U
L
C
U
LC
C
U
I



C
L
R
в


---

При свободных гармонических колебаниях в 
колебательном контуре
происходит периодическое 
преобразование энергии 
электрического поля конденсатора в 
энергию магнитного поля катушки 
индуктивности и наоборот. 
Колебания, происходящие в 
колебательном контуре, часто 
называют 
электромагнитными 
колебаниями
в контуре.

---

●
Затухающие электрические 
колебания
.
В реальном контуре 
R
≠ 0, 
следовательно, есть потеря энергии и 
затухание колебаний, которое 
характеризуется коэффициентом 
затухания 
.
2
L
R




)
2
(
0
1
2
0
2



Q
LC
Q
L
R
Q






---

Дифференциальное уравнение затухающих 
колебаний
• Решение 
частота затухающих 
колебаний. 
.
0
2
2
0



Q
Q
Q







,
cos







t
e
Q
Q
t
m
2
2
2
2
0
4
1
L
R
LC







При
R
= 0
0
1




LC
собственной частоте
контура.

---

Затухающие электрические колебания
Логарифмический декремент затухания:
Добротность колебательной системы:
W
(
t
) -
энергия колебательной системы в 
момент времени 
t
,
W
(
t
) 
–
W
(
t
+
T
) -
убыль энергии за промежуток 
времени от 
t 
до 
T
+
t
.
.
)
(
)
(
ln
T
T
t
A
t
A





.
1
1
2
)
(
)
(
)
(
2
0
C
L
R
L
R
LC
T
t
W
t
W
t
W
Q













---

●
Вынужденные электрические 
колебания
.
Возникают в контуре при включении внешней 
э.д.с.
Закон Ома: 
)
1
.(
cos
t
U
U
m




)
2
(
.
U
U
IR
dt
dI
L
S
C
Q
С




E







(3)
cos
1
0
2
0
2
t
L
U
Q
LC
Q
L
R
Q
X
m






дифференциальное уравнение
вынужденных колебаний.

---

При 
установившихся вынужденных колебаниях
заряд конденсатора колеблется гармонически с
циклической частотой внешней э.д.с. –
ω
α
–
сдвиг фаз между
Q
и внешней э.д.с.,


(4)
,
cos
α
ωt
Q
Q
m




)
5
(
.
1
1
4
4
1
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0































C
L
R
U
R
L
C
L
L
L
U
L
R
LC
L
U
X
Q
m
m
m
m














---

)
7
(
.
m
m
Q
I


Подставив уравнение (5) в уравнение (7), получим
)
8
(
.
1
2
2









C
L
R
U
I
m
m


2
2
1









C
L
R
Z


полное сопротивление цепи 



(6)
2
cos
sin
.
t
Q
t
Q
Q
I
m
I
m
m
































---

)
1
(
cos
t
U
U
m


)
9
(
.
2





Из
уравнения
для
внешней
э.д.с.
и уравнения
между током в контуре
I
и внешней э.д.с.
U
есть сдвиг фаз

(6)
2
cos
.
t
Q
I
m
I
m























Решение дифференциального уравнения
затухающих колебаний дает значение
α.
Найдём
tg
α.

---

Из уравнений (9), (10) следует
-
реактивное индуктивное сопротивление,
-
реактивное емкостное 
сопротивление.
)
11
(
.
1
1
2
R
C
L
tg
tg
tg















 

L

C

1
(10)
1
1
1
2
2
2
2
0
.
L
C
R
L
C
L
L
R
LC
L
R
arctg
tg
tg


































---

Из уравнения 
следует
• если
то 
φ
> 0, 
т.е. ток 
I
отстает по фазе от 
U
,
• если
то 
φ
< 0, 
т.е. ток 
I
опережает по фазе 
U.
)
11
(
.
1
R
C
L
tg





,
C
L


1

,
C
L


1


---

Уравнение (2) запишем в виде:
Сумма напряжений на отдельных 
элементах контура равна в каждый 
момент времени внешней э.д.с.
)
13
(
.
cos
)
12
(
cos
t
U
U
U
U
t
U
dt
dI
L
C
Q
IR
m
L
C
R
m










---



)
15
(
.
2
cos
cos
)
4
(
1
2
































t
U
t
C
Q
уравнение
C
C
Q
U
Cm
U
m
C
Cm


(14)
cos
2
cos
(6)
.
t
RI
t
RI
уравнение
R
RI
U
m
m
R






























---

)
16
(
.
1
)
5
(
1
2
2
C
I
C
L
R
C
U
уравнение
C
C
Q
U
m
m
m
Cm





















(17)
2
cos
sin
cos
(14)
.
t
U
t
LI
t
I
I
dt
dI
L
U
Lm
U
m
m
L
Lm






























---

Сравнивая формулы для 
I
, 
U
R
, 
U
C
, 
U
L
•
U
R
изменяется в фазе с 
I ,
•
U
C
отстает от
I
, 
U
R
по фазе на 
,
•
U
L
опережает 
I 
по фазе на 
.
Фазовые соотношения представляются 
векторной диаграммой 
2

2

.
L
C
R
U
U
U
U






