Элективный курс «Методы доказательства неравенств»

Тема 10.
1. Докажите, что S_ABC .
2. Докажите, что любая диагональ четырехугольника меньше половины его периметра.
3. Докажите, что в любом треугольнике сумма медиан больше периметра, но меньше периметра.
4 . Докажите неравенство 2 a.
5. Докажите, что высоты треугольника удовлетворяют неравенству
h_c > .
6. Докажите, что a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac).
7. Периметр выпуклого четырехугольника равен 4. Докажите, что его площадь не превосходит 1.
8 . Докажите, что площадь параллелограмма, лежащего внутри треугольника, не превосходит половины площади треугольника.
9. Дан треугольник площадью 1 со сторонами a b c. Докажите, что b .
10. Внутри квадрата со стороной 1 расположено n² точек. Докажите, что существует ломаная, содержащая все эти точки, длина которой не превосходит 2n.


Тема 11.
1 . Найдите область определения функции:
а) у = + ; в) у = ; д) у = ;
б) у = ; г) у = arccos ; е) у = .
2. Найдите область значений функции:
а) у = arcsin x; б) у = ; в) у = sin x + cos x; г) у = .
3. Исследуйте функции на выпуклость и вогнутость:
а) у = х²; б) у = х³ + 2х; в) у = ; г) у = sin x (0 < x < 2 ).
4. Среди прямоугольников, имеющих площадь 10 кв.ед., найти прямоугольник наименьшего периметра.
5. Найдите наибольшее значение функции у = х² .
6. Найдите минимальную длину у стрелы крана высотой h, с помощью которого можно построить здание высотой H и шириной 2а.
7. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Какие должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света при заданном периметре окна P?
8. В каких пределах изменяется скорость точки, движущейся равномерно по прямой, если известно, что при увеличении скорости на 3 эта точка при прохождении расстояния в 630м. выигрывает время не меньше, чем 1сек., и не больше, чем 280сек.