Элективный курс «Методы доказательства неравенств»

5. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Неравенство Коши-Буняковского. Их применение к решению задач.
Доказать неравенство Коши для произвольного числа переменных. Сформулировать и обосновать теорему, устанавливающую соотношение Коши-Буняковского. Геометрическая интерпретация этого неравенства. Векторная запись неравенства.
6. Средние величины. Классические неравенства.
«Средние величины» в школе. Многообразие «средних». Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое соотношения между ними. Неравенства, приводимые к сравнению средних.


7. Неравенство Чебышева.
Введение. Исторический экскурс. П.Л. Чебышев и его научное наследие. Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности.


8. Неравенства, связанные с тригонометрическими функциями.
Рассмотреть классические тригонометрические неравенства. Приемы доказательства неравенств, содержащих тригонометрические функции. Применение тригонометрических неравенств и функций к решению прикладных задач.

9. Доказательство неравенств с помощью производной. Доказательство неравенств с использованием свойств функций.

Применение производной к исследованию функций. Признаки возрастания (убывания) функций. Доказательство неравенств с применением производной. Метод решения неравенств, основанный на ограниченности функции сверху или снизу.


10. Геометрические неравенства.
Обзор типичных геометрических неравенств. Неравенства, связанные с геометрией треугольника. Алгебраические задачи на неравенство треугольника. Неравенства с площадями. Неравенства, связанные с многоугольниками и окружностью.


11. Применение неравенств.
Нахождение области определения и области значений функции. Исследование функции на выпуклость и вогнутость с помощью неравенств (без производной). Неравенства в математической статистике и экономике. Задачи на оптимизацию. Приложение неравенств к задачам на наибольшее и наименьшее значение. Текстовые задачи на составление и решение неравенств.