Элективный курс «Методы доказательства неравенств»

Тема 5.
1 . Доказать неравенство . (неравенство Коши)
2. Доказать неравенство
(a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n)² (a₁² + a₂² + … + a_n²)·(b₁² + b₂² + …+ b_n²).
(неравенство Коши – Буняковского)
3. Пользуясь неравенством Коши – Буняковского докажите неравенство
· n², где a_i > 0 (i = 1, 2, ... , n).
4 . Доказать, что если , , то имеет место неравенство
tg² + tg² + tg² 1.
5 . Докажите sin .


Тема 6.
1 . Доказать , где а₁, а₂, а₃ 0.
2. Доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство
> .
3 . Доказать, что если а 0, b 0, c 0, то имеет место неравенство
a + b + c + + .
4 . Доказать неравенство a⁴ + b⁴ + c⁴ abc(a + b + c).
5 . Доказать неравенство + .
6. Доказать, что для натуральных m и n имеет место неравенство
.
Тема 7.
1. Доказать неравенство Чебышева.
· , где
а₁, а₂, а₃, …, а_n, b₁, b₂, …, b_n – две не убывающие последовательности чисел.
2. Пользуясь неравенством Чебышева, доказать, что при n натуральном имеет место неравенство
(n – 1)pq + 1, где p 1, q 1 (или p 1, q 1).


Тема 8.
1 . Доказать, что если < < и < < , то .
2 . Доказать неравенство sin⁸ + cos⁸ .
3 . Доказать неравенства .
4. sin · sin · sin < .
5. (1 – sinx)² + sin²(x – 1) > 0.
6. Решите неравенства sin⁶x + cos⁶x > .
7. < .
8. + > 1.
9. На какой высоте следует повесить фонарь, имеющий У свечей, над центром площади, представляющей собой квадрат со стороной а м., чтобы в средних точках каждой из этих сторон этого квадрата, освещенность достигла наибольшей величины.

Тема 9.

1 . Докажите, что при 0 < t < имеет место неравенство t - < sint.
2. Докажите, что 2а³ + 11 > 9а при а > 0.
3 . Докажите неравенство 2х + (при х 0).
4. Докажите неравенство а) tg x > x + при 0 < x < .
б) cos x > 1 - при x > 0.
в) > 3 - при x > 1.
5 . Докажите, что при 0 р 1 и любых а > 0, b > 0 справедливо неравенство
(а + b)^р а^р + b^р.
6 . Решите неравенство а) 2^х + arctg x;
б) cos (x – 1) – 1.