Electric Motors and Drives This Page Intentionally Left Blank

Ø
V
1
N
turns
1
N
turns
2
R
1
I
1
R
2
E
1
E
2
I
2
Z
2
V
2
Figure 7.2
Single-phase transformer supplying secondary load Z
240
Electric Motors and Drives

---

condition. Since the secondary has no current it cannot in
X
uence mat-
ters, so we can temporarily remove it to yield the simpler model shown
in Figure 7.3. What we want to know is what determines the magnitude
of the
X
ux in the core, and how much current (known for obvious
reasons as the magnetising current,
I
m
) will be drawn from the voltage
source to set up the
X
ux.
We apply Kircho
V
’s voltage law to relate the applied voltage (
V
1
) to
the voltage induced in the primary winding by the pulsating
X
ux (
E
1
)
and to the volt-drop across the primary resistance, yielding
V
1
¼
E
1
þ
I
m
R
1
(7
:
1)
We also apply Faraday’s law to obtain the induced e.m.f. in terms of the
X
ux, i.e.
E
1
¼
N
1
d
f
d
t
(7
:
2)
We have of course seen similar equations several times before.
We can simplify equation (7.1) further in the case of the ‘ideal’ trans-
former, which not unexpectedly is assumed to have windings made of wire
with zero resistance, i.e.
R
1
¼
0. So we deduce that for an ideal trans-
former, the induced e.m.f. is equal to the applied voltage, i.e.
E
1
¼
V
1
.
This is very important and echoes the discussion in Chapter 5: but what we
really want is to
W
nd out what the
X
ux is doing, so we must now use the
result that
E
1
¼
V
1
to recast equation (7.2) in the form
d
f
d
t
¼
E
1
N
1
¼
V
1
N
1
(7
:
3)
Flux,
Ø
V
1
N
turns
1
R
1
I
m
E
1
Figure 7.3
No-load condition (i.e. secondary open-circuited), with secondary winding
omitted for the sake of clarity
Induction Motor Equivalent Circuit
241

---

Equation (7.3) shows that the rate of change of
X
ux at any instant
is determined by the applied voltage, so if we want to know how the
X
ux behaves in time we must specify the nature of the applied voltage.
We will look at two cases: the
W
rst voltage waveform is good for
illustrative purposes because it is easy to derive the
X
ux waveform,
while the second represents the commonplace situation, i.e. use on an
a.c. supply.
Firstly, we suppose that the applied voltage is a square wave. The rate
of change of
X
ux is positive and constant while
V
1
is positive, so the
X
ux
increases linearly with time. Conversely, when the applied voltage is
negative the
X
ux ramps down, so the overall voltage and
X
ux waves
are as shown in Figure 7.4(a).
It should be evident from Figure 7.4 that the maximum
X
ux in the
core (
w
m
) is determined not only by the magnitude of the applied voltage
(which determines the slope of the
X
ux/time plot), but also by the
frequency (which determines for how long the positive slope continues).
Normally we want to utilise the full capacity of the magnetic circuit, so
we must adjust the voltage and frequency together to keep
w
m
at its rated
value. For example, in Figure 7.4(b) the voltage has been doubled, but
so has the frequency, to keep
w
m
the same as in Figure 7.4(a): if we had
left the frequency the same, the
X
ux would have tried to reach twice its
rated value, and in the process the core would have become saturated, as
explained in Chapter 1.
Turning now to the everyday situation in which the transformer
is connected to a sinusoidal voltage given by
V
1
¼
^
V
V
sin
v
t
, we can
(a)
(b)
Applied voltage,