Ёй узунлиги. Эгрилик ва уни ҳисоблаш

Эгри чизиқ эгрилиги ва уни ҳисоблаш

Бизга регуляр g –эгри чизиқ ва унга тегишли нуқта берилган бўлсин. Берилган нуқтадаги эгрилик тушунчасини киритиб, уни ҳисоблаш формуласини келтириб чиқарамиз. Бунинг учун g – эгри чизиқда га яқин бўлган нуқтани олиб, бу нуқталардан ўтувчи уринмалар орасидаги бурчакни билан, ёй узунлигини билан белгилайлик. Равшанки, нуқта га интилганда Dj ва миқдорлар нолга интилади. Аммо ифода нимага интили­шини олдиндан айта олмаймиз.

Таъриф. Чизиқдаги нуқта га интилганда ифоданинг лимити мавжуд бўлса, у чизиқнинг нуқтадаги эгрилиги деб аталади.
Теорема-12: Икки марта дифференциалланувчи регуляр эгри чизиқ учун мавжуд. Агар чизиқ тенглама билан табиий параметр ёрдамида берилган бўлса, тенглик ўринлидир. Бу ерда табиий параметрнинг га мос келувчи кийматдир.



Чизма-10 Чизма-11

Исбот. Фараз қилайлик, эгри чизиқ тенглама билан табиий параметр ёрдамида берилган, , векторлар мос равишда ва нуқталарнинг радиус векторлари бўлсин. Шунда бурчак ва векторлар орасидаги бурчакка тенг.
Шунинг учун . Бу тенгликдан,

келиб чиқади. Бу тенгликда да лимитга ўтсак, ни ҳосил қиламиз.
Энди ихтиёрий параметр учун эгриликни ҳисоблаш формуласини келтириб чиқарамиз. Бунинг учун тенгликда ни нинг функцияси сифатида қараб, иккала томонини бўйича дифференциал­лайлик. Шунда ни ҳосил қиламиз. Демак, .
Энди бу тенгликни бўйича дифференциаллай­миз ва

ни ҳосил қиламиз. Бу тенгликни иккала томонини га бўлиб ни оламиз. Энди иккала томонини квадратга ошириб,

тенгликни ҳосил қиламиз.
Бундан эса келиб чиқади. ни ҳисобга олиб ва кўринишда ёзиб ихтиёрий параметр учун эгриликни ҳисоблаш формуласини оламиз.
Агар бўлса, формула

кўринишига келади. Агар эгри чизиқ функцияни графиги бўлса, эгрилик формуласи

кўринишга келади.
Энди, ҳамма нуқталарида эгрилиги нолга тенг бўладиган чизиқларни топайлик. Икки марта дифференциалланувчи эгри чизиқ табиий пара­метр ёрдамида тенглама ёрдамида берилган бўлса, унинг эгрили­ги формула бўйича ҳисобланади. Агар бўлса, бўлади. Демак, ва бўлиб, –ўзгар­мас вектор­лардир. Демак, эгри чизиқнинг ҳамма нуқталарида эгрилиги нолга тенг бўлса, у ёки тўғри чизиқ, ёки тўғри чизиқнинг очиқ кесмасидир. Албатта, бу тасдиқнинг тескариси ҳам тўғридир (исботланг).