Ёй узунлиги. Эгрилик ва уни ҳисоблаш

Ёй узунлиги. Эгрилик ва уни ҳисоблаш
Агар ва бўлса, нинг нуқталарга мос келувчи нуқталари билан чегараланган ёйи узунлиги тушунчасини киритамиз. Бунинг учун кесмани та қисмга ажратувчи нуқталарни олиб, уларнинг чизиқдаги образларини билан белгилайлик. Учлари нуқталарда бўлган синиқ чизиқни чизиққа ички чизилган синиқ чизиқ деб атаймиз. Агар ни ўз ичига олувчи бирорта ёй учун унга ички чизилган синиқ чизиқлар узунликлари юқоридан текис чегараланган бўлса, γ эгри чизиқ нуқта атрофида тўғриланувчи дейилади.

f(b)

Чизма-9

Теорема-11. Регуляр эгри чизиқ ўзига тегишли ҳар қандай нуқта атрофида тўғриланувчидир.
Исбот. Элементар эгри чизиқ,
,
тенглама билан берилган бўлсин ва параметрнинг га мос келувчи қиймати учун муносабат бажарилсин.
Бу ерда, га ички чизилган синиқ чизиқ нинг учлари нуқталарнинг образлари бўлиб, бўлсин, қулайлик учун белгилашлар­ни қабул қилиб, нинг узунлигини юқоридан баҳолайлик.
Синиқ чизиқнинг нуқталарга мос келувчи кесмаси узун­лиги тенг, синиқ чизиқ узунлиги га тенг бўла­ди, агар бўлса, ни ҳисобга олиб ни ҳосил қиламиз.
Бу ерда тенгсизлик функциянинг да узлуксиз­лигидан келиб чиқади. Демак, параметрнинг ва қийматларга мос келувчи нуқталар билан чегараланган ёйга ички чизилган ихтиёрий синиқ чизиқ узунлиги сон билан чегараланган.
Энди эгри чизиқ ёйи узунлигини ҳисоблаш формуласини келтириб чиқарамиз. нинг нуқталарга мос келувчи нуқталарини билан белгилаб, ёйнинг узунлиги сифатида бу ёйга ички чизилган синиқ чизиқлар узунликларининг юқори чегарасини қабул қиламиз.
Юқоридаги теоремага кўра ёй узунлиги чегараланган. Энди бўлиб, синиқ чизиқнинг узунлиги ёй узунлигидан га фарқ қилсин.
Агар нинг учлари нуқталарнинг образлари бўлса, шарт бажарилсин деб талаб қиламиз. Лекин бу шарт бажарилмаса, ни шундай синиқ чизиқ билан алмаштирамизки, нинг учлари ичида нинг учлари ҳам бор, лекин учлари прообразлари учун тенгсизлик бажарилади. нинг узунлиги узунлигидан кичик бўлмаганлиги учун унинг узунлиги ҳам узунлигидан дан кичик сонга фарқ қилади.
Демак, берилган сонлар учун узунлиги ёй узунлигидан дан кичик сонга фарқ қилади ва муносабат бажарилади деб фараз қилишимиз умумийликни чегараламайди.
Энди узунлигининг га тенглигини ҳисобга олиб,


тенгликни ёзиб, унинг ҳадларини да баҳолаймиз.
Бу тенгликнинг ўнг тарафидаги иккинчи ҳад интеграл таърифига кўра да нолга интилади. Учинчи ҳад учун эса

тенгликни ҳисобга олсак,

тенгсизликни ҳосил қиламиз.
Бу тенгсизликнинг ўнг тарафи узлуксиз бўлганлиги учун да нолга интилади.
Шундай қилиб, интеграл синиқ чизиқ узунлигидан берилган ихтиёрий сондан кичик сонга фарқ қилади. узунлиги эса ёй узунликдан дан кичик сонга фарқ қилади. Берилган нинг ихтиёрий танланганлигидан ёй узунлиги
интегралга тенглиги келиб чиқади.
Шундай қилиб, агар эгри чизиқ,

параметрик тенгламалар ёрдамида берилса, ёй узунлиги

формула бўйича ҳисобланади. Агар эгри чизиқ текисликда функциянинг графиги бўлса, ёй узунлиги
га тенгдир.
Ёй узунлигини эгри чизиқни параметрлаш учун ҳам ишлатиш мумкин. Агар бўлса, нинг ва га мос келувчи нуқталари билан чегараланган ёй узунлигини билан белгилаб,

қоида бўйича функциясини аниқласак, бу функция монотон ўсувчи функция бўлади. Чунки унинг ҳосиласи га тенг ва демак, ҳар доим нолдан катта. Агар га тескари функцияни билан белгиласак ва да ўрнига қўйсак,

тенгликни оламиз.
Ҳосил бўлган тенглама нинг табиий параметр ёрдамида аниқланган тенгламаси, эса табиий параметр дейилади.
Табиий параметрнинг муҳимлиги шундан иборатки, уринма вектор узунлиги ҳар доим бирга тенгдир.
Ҳақиқатдан ҳам,
ва
Бундан кейин, белги нинг табиий параметр бўйича ҳосиласини билдиради. Табиий параметрини эса билан белгилаймиз.