p & = k ) = f i k - c : r ‘ < r* =
k=1 *=0
n p f j C k: i p k- xq n- k= n p ( q + p)*~l= «■ p. k=0
3-misol. Puasson qonuni bilan taqsim langan tasodifiy m iqdom -
ing m atem atik kutilmasini toping.
} m
Yechish. P(t, = m) = , m = 0 ,1 ,2 ,... tenglik o'rinli eka-
ni bizga m a’lum .
Uning taqsim ot qonunini ushbu jadval ko‘rinishida yozamiz.
-
X,
|
0
|
1
|
2
|
...
|
m
|
|
e~k
|
|
|
<\ m
|
Pi
|
|
2 !
|
V
|
1
|
|
|
|
m l
|
|
M atem atik kutilmasi uchun quyidagiga ega bo'lam iz:
-
j-tyn
|
- x
|
1
|
X
|
-Xn
|
X 2
|
_ ?
|
Xm
|
- X
|
+.,
|
El, = 0- e
|
|
+ b
|
- e
|
A+ 2
|
- — e
|
|
'+ ... + m —- e
|
|
|
|
|
|
|
2 !
|
|
m\
|
|
|
|
= Xe- i
|
f
|
i 2
|
|
^m-1
|
|
|
|
|
A,
|
|
|
A
|
|
|
|
|
+ X + —- + ... + -----T—+ ...
|
|
|
|
|
|
|
i\
|
|
(w-l)!
|
|
|
Qavs ichidagi qator e"- funksiyaning M akloren qatoriga yoyilma-sidir. Shuning uchun matematik kutilma E^'—X. Shunday qilib, biz Puasson taqsimot qonuniga kiiganX parametming ehtimolliy ma’nosini topdik: X parametr tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga teng. uzluksiz tasodifiy m iqdorning zichlik funksiyasi p(x) bo‘lsin.
2 - ta ’rif. Uzluksiz tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasi deb, ushbu
-
oo
|
|
E ^ = J"x- p (x )d x
|
(2)
|
—oo
integralga (agar bu integral absolut yaqinlashuvchi bo‘isa) aytiladi. 4-misol. (a,a2) param etrli norm al qonun bilan taqsimlangan
\ tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasini toping. Yechish. Ta’rifga asosan
(*-“)2 00 (X-“f
D em ak, (a ,a 2) param etrli norm al qo n u n bilan taqsim langan tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilm asi a param etrga teng ekan.
5-misol. \a,b\ oraliqda tekis taqsim langan £, tasodifiy m iqdor ning m atem atik kutilm asi quyidagicha topiladi:
E t,= f x - 0 */x +
|
fx
|
—— d x +
|
|
1
|
c
|
X
|
. b >
|
b+a
|
|
|
|
[x -O rfx = —!—■
|
2
|
|
2
|
J
|
J
|
b - a
|
J
|
b - a
|
V
|
a
|
-oo
|
a
|
|
b
|
|
|
|
6-misol. p. param etrli eksponcnsial qonun b o ‘yicha taqsim lan gan ^ tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasi:
0 +00
EE, = J x - 0 d x + | x - \ie~iUcdx -
-oo 0
+oo
x - ( - e ~ MX) | r + J e - ^ J x = ( - i e ^ ) o
+<» i
M-
3 -ta ’rif. T aqsim ot funksiyasi F(x) b o lg a n tasodifiy m iqdorn -
00
ing m atem atik kutilm asi E% = J x d F (x ) kabi aniqlanadi.
—co
Tasodifiy m iqdorlarning m atem atik kutilm asi ham m a vaqt ham m avjud bolaverm asligini eslatib o la m iz . M asalan, tasodifiy m iq dor Koshi qonuni bilan taqsim langan b o ‘lsin. U holda uning zichlik funksiyasi
p ( x ) =
k o lin ish d a b o ‘ladi va
J x p (x )d x
integral m avjud b o ‘lm aydi.
Matematik kutilmaning ehtimollik m a’nosi.
£, tasodifiy m iqdor ustida n ta bogiiqsiz tajriba o ‘tkazilgan bo lsin .
T ajriba natijalari ushbu jadvalda keltirilgan:
E,: x, x 2 ... x k
n : n, n2 ... nk
Yuqori satrd a^ m iqdorning kuzatilgan qiym atlari, pastki satrda esa mos qiym atlarning chastotalari ko‘rsatilgan, ya’ni w, son nx ta lajribada E, m iqdor x x ga teng qiym at qabul qilganligini bildim di va hokazo.
orqali kuzatilgan barcha qiym atlarning o ‘rta arifm etigini belgilaylik, u holda,
|
|
y
|
X j r tj + X 2 « 2 + +x k ' x k
|
|
|
|
|
X =
|
---------------------------
|
n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yoki
|
|
|
|
|
|
|
T7
|
tl\
|
It')
|
Hi-
|
*
|
*
|
*
|
X = x x ■-L + x2
|
|
+ xk ■-?- = x { ■p { + x 2 - p2 ...+ + x kp k .
|
Bu yerda p p * 2 ,..., pk — m os ravishda x i5 x2, ..., x* qiym atlarning nisbiy chastotalari. T ajribalar soni, yetarlicha _katta b o ‘lganda
p\ « p x, p*k « pk b o ‘ladi. Shuning uchun X & EE,, ya’ni E, tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasi uning kuzatiladigan qiy m atlari o ‘rta arifm etigiga taqriban teng.
M atem atik kutilm a quyidagi xossalarga ega:
1-xossa. O 'zgarm as sonning m atem atik kutilm asi shu sonning o ‘ziga teng.
Isbot: c o ‘zgarm as sonni faqat bitta c qiym atni 1 ehtim ollik bilan qabul qiluvchi tasodifiy m iqdor deb qarash m um kin. S hu ning uch u n Ec = c ■ 1 = c.
2-xossa. \EE\tengsizlik o ‘rinli.
Bu xossaning isboti m atem atik kutilm aning la ’rifidan bevosita kelib chiqadi.
3-xossa. Z%, Er\ va E(E, + rj) larning ixtiyoriy ikkitasi m avjud b o ‘lsa, u holda ushbu E (E, + r\) = EE, + Er\ tenglik o 'rin li b o ‘ladi.
Isbot. Isbotni diskret hoi uchun keltiramiz. Faraz qilaylik, E, ta sodifiy m iqdor x,, x2, ..., xk, ... qiym atlarni m os ravishda p x, p2,
pk, ... ehtim olliklar bilan, rj tasodifiy m iqdor esa y {, y 2, y
qiym atlarni m os ravishda qx, q2, ... qk, ... ehtim olliklar bilan qabul qilsin, u h o ld a ^+ri yig‘in d in in g q abul qiladigan q iy m atlari
{xt ( k = 1, 2 ,.., / = 1, 2...) ko‘rinishdagi sonlardan iborat. pk / orqali £ ning xk va r) ning y t qiym atlarni qabul qilish eh ti
m olligini belgilaym iz. U holda to ‘la ehtim ollik form ulasiga asosan
ac no ( x > \ c c ( C O \
Ek +r\)=JJ(xic+yi)Pk,i='Zxi‘ 'T.Pv +I>l2>,/ r
k , l =1 k I V / 1 ) 1=1 v*=! J
00
Zy xkPk + Z > w / = Ei>+ Er]-
k=1 /=1
1-natija. ^ ,£ 2 tasodifiy m iqdorlar yig‘indisining m ate m atik k u tilm asi shu tasodifiy m iqdorlar m atem atik kutilm alari-
ning yig‘indisiga teng, ya’ni E
V*=i y k=l
4-xossa. 0 ‘zgarm as so n n i m atem atik k u tilm a ishorasidan tashqariga chiqarib yozish m um kin: Ec% = cEt, , c = co n st.
Isbot. Isbctni diskret va uzluksiz tasodifiy m iqdorlar uchun alohida -alohida keltiram iz.
1-t.a’rifdan va ( 1) dan foydalanib, diskret tasodifiy m iqdor uchun ushbu
E ( A ) = X cxiPt = CX x iPt = cE^
i=i ;=I
natijani hosil qilamiz.
(2) form ulaga asosan uzluksiz tasodifiy m iqdorlar uchun ushbu
oo oo
E (c^ ) = J cx p (x )d x = c | x p (x )d x = cE^.
—oo —oo
5-xossa. £, va r| tasodifiy m iqdorlar o ‘zaro bog‘liq b o ‘lmasin. Agar ££, va Er\ m avjud b o ‘Isa, u holda E£,r\ m avjud b o ‘ladi va
E ly i = El, - Er| .
Isbot. Faraz qilaylik, £, tasodifiy m iqdor x x, x2, ..., xk, ... qiy m atlarni m os ravishda p x, p2, p k, ... ehtim olliklar bilan, r\ taso difiy m iq d o r ^ , y 2, ..., y k, ... qiym atlarni m os ravishda q x, q2, ...
qk, ... ehtim olliklar bilan qabul qilsin.
£, va r| tasodifiy m iqdorlar o ‘zaro bog'liqsizligidan £, • r\ tasodi fiy m iqdor x, ■ ko‘rinishdagi qiym atlarni pflj ehtim ollik bilan qabul qiladi, natijada
= X W P ($ = x i ’1\ = y j ) = T i W j P r f j =
1 J
= E<^Ex\.
teorem aning teskarisi doim ham to ‘g‘ri emas, ya’ni ££;r| = • £Y|
ekanligidan £, va r| ning o'zaro bog'liq b o ‘lmasligi kelib chiqm aydi.
Do'stlaringiz bilan baham: |