Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

^dF(x) - F ( b ) - F(a) .
a
Haqiqatdan ham , ta ’rifga asosan,

\ dF( x) = Urn £ [ F{ x , ) - F (x M )] =
a i=1
lim \ F ( x ) ~ / ' ( X0)1 = F ( b ) - F ( a ) ,

/I—>co I— '

chunki F(x) funksiya chapdan uzluksiz bo‘lgani uchun F( b) = lim F (Z ) - e ) munosabat o ‘rinli bo‘ladi.

E— >0
Agar F(x) funksiya p(x) hosilaga ega b o lsa, u holda chekli orttirm alar formulasiga asosan

F( x t) - F ( x t_1) = p ( x t )(x,. - x,_ ,)
munosabatni yozamiz, bunda x(_, < x, < x ,,

\ f ( x ) d F (x ) = lim J / ( x , ) [ / :’(xi ) - / ’(xM )] =
a W>CO /=1



n b

= lim ^ / ( x , . ) / » ( x , ) ( x , . - x w ) = J f ( x ) p ( x ) d x

n—>qo . , J

1=1 a

102

tenglik o‘rinli bo'lib, Stiltes integrali oddiy integralga keltiriladi. Agar F(x) funksiya x —c nuqtada sakrashga ega bo'lsa, oraliqlarni

bo'lishni shunday tanlaymizki, xk < c < xk+i bo'lganda

+ / ( c ) [ F ( x Jt+I) - F ( x * ) ]} + lim		£	f { x , ) F(x, ) -	F ( x i_l )] =
	/I->oo	.r	1	—1
c	b	/-*+2

\ f ( x ) d F ( x ) + \ f ( x ) d F ( x ) + f ( c ) [ F ( c + Q ) - F ( c ) ]
a c+0
ga ega bo'lam iz. Xususiy holda F(x) funksiyaning sakrashlari cl,c2,---,c„,... nuqtalarda bo'lsa, u holda Stiltes integrali q ato rk o'-rinishida ifodalanadi:

a
Stiltes integrali quyidagi xossalarga ega:
1) a < cx < c2 < ... < cn < b bo'lganda
ff { x ) d F ( x ) = Y j J f (x)dF(x) , [a = c0 , b = cn+x];
i - 0 Cj
b b
\ c f ( x ) d F ( x ) = c ^ f ( x ) d F ( x ) ;
a n
) j _ i f i ( x)dF( x) = f j ] f i ( x) dF( x) -
a *=1 a
b
4) / > 0 va a < b bo'lsa, u holda j f { x)dF(x) > 0 ; a

103

agar F2(x) lar o ‘zgarishi (variatsiyasi) chegaralangan m onoton funksiyalar va c1# c2 lar ixtiyoriy o ‘zgarm as sonlar b o ‘lsa, u holda

h b b

\ f ( x ) d [ c lFx(x) + e2F2{ x ) \ = c { J/(x)J/;(x) + c2 \ f ( x ) d F 2 (x)
a a a
b o‘ladi;
6) A gar F(x) = ^g(u)d G{u), c — o ‘zgarm as son, g(u) —
C
uzluksiz funksiya, G(u) — chegaralangan variatsiyali kam aym ay-digan funksiya b o ‘lsa, u holda
Jf ( x ) d F ( x ) = ] f ( x ) g ( x ) d G ( x )
a a
bo‘ladi.
4.2-§. Matematik kutilma, uning ehtimollik ma’nosi va xossalari
Tasodifiy m iqdor haqida to ‘liq m a’lum otni uning taqsim ot funk­ siyasi yordam ida olish m um kinligi bizga m a ’lum . H aqiqatan ham taqsim ot funksiya tasodifiy m iqdorning qaysi qiym atlarni qanday ehtim olliklar bilan qabul qilishini aniqlashga im kon beradi. Lekin b a’zi hollarda tasodifiy m iqdor haqida kam roq m a ’lum otlarni bi-lish ham yetarli b o ‘ladi. E htim olliklar nazariyasi va uning am ali-yotdagi tadbiqlarida tasodifiy m iqdorlarning taqsim ot funksiyalari orqali m a’lum qoidalar asosida topiladigan b a ’zi o ‘zgarm as sonlar m uhim rol o ‘ynaydilar. B unday sonlar orasida tasodifiy m iqdor-lam ing um um iy m iqdoriy xarakteristilalarini bilish uchun m atem a ­ tik kutilma, dispersiya va turli tartibdagi m om entlar juda m uhim dir.
Tasodifiy m iqdorning biz dastlab tanishadigan asosiy sonli xarak-teristikasi uning m atem atik kutilm asidir.

diskret tasodifiy m iqdor {jc*} qiym atlarni {pk} ehtim olliklar bilan qabul qilsin. U nda,

/>*=!• k=1

104

1 - ta ’rif. £, diskret tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasi deb, ushbu