Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

= El,2 - 2E% - Et, + E ( E l)2 = El,2 - 2 { E l ) 2 + (EE,)2 = E l2 - ( E g ? .
1-misol. A hodisaning ro'y berish ehtimolligi p ga teng bo'lsa, bitta tajribada A hodisa ro'y berish sonining dispersiyasini toping.

Yechish. Tasodifiy m iqdorni quyidagicha kiritib
[ 0 . q - 1 - p ehtim ollik bilan,
[l, p ehtim ollik bilan,
El — p ekanini e ’tiborga olsak, (2) ga asosan
D l = (0 - E l ) 2 ■q + (1 - E ^ f p = p 2q + ( 1 - p )7 p =
= p 2q + q 2p = pq {p + q) = p - q .

I l l

2-misol. Binom ial qonun bilan taqsim lagan tasodifiy m iqdor­ ning dispersiyasini toping.
Yechish. 4.1 -§ ning, 2-m isoliga ko‘ra E£ = np edi. D%= Et,2 - { E t f tenglikka asosan
Dt, = Y ^ k 1C kn p kq n~k - ( n p f = np _{( « - ! ) ; > £ c « / - 2< r ‘ +}
k=1 k=2

.1 \2

+ Y JCn-\ P lc~l(In~k \ - ( nP) = n p ( ( n - \ ) p + ] ) - ( n p Y = npq.

*=i J
3-misol. Puasson qonuni bilan taqsim langan tasodifiy m iqdor­ ning dispersiyasini toping.

Yechish. Shu bobdagi 4.1 -§ ning, 3-m isoliga asosan Et, — ~k\ (3) tenglikka ko‘ra

K=K)	k\	(4>

D astlab qatorning yig'indisini hisoblaym iz,

oo y k oo . _ i
y k ’ L l - = x Y

a *! a ( t - '»
Y m , - + Y |' = > .U + 1) = A.2 +A,.

Buni (4) m unosabatga q o ‘ysak, D ^ = X 2 + k‘ - X 2 = A,.

D em ak, Puasson qonuni bilan taqsim langan tasodifiy m iqdorn ­ ing m atem atik kutilmasi va dispersiyasi A, param etrga teng ekan.
Endi uzluksiz tasodifiy m iqdor dispersiyasi ning ta ’rifini be-ramiz. £, tasodifiy m iqdorning zichlik funksiyasi b o ‘lsin.
2-ta’rif. Uzluksiz tasodifiy m iqdorning dispersiyasi deb quyidagi

co

= J(*- Et,)2 p ( x ) d x

—co

integralning qiymatiga aytiladi.

1 12

4 -m iso l (o,ct2) — param etrli norm al qonun bilan taqsim langan tasodifiy m iqdorning dispersiyasini toping.

Yechish. Et, = a ekanini e’tiborga olgan holda
oo (x-a)2
D£,= f ( x - a ) 2 --------- e 2tj2 d x .

J (Tv2tc

—oo
X—fl

= Z alm ashtirishni kiritib, u holda dx = a d z b o ‘ladi va

a
quyidagini hosil qilamiz:

-oo
Hosil b o lg a n integralni boMaklab integrallaym iz:

+ f e 2 dz = ct2 .

V27T J
D em ak, ( a ,a 2) — param etrli norm al qonun bilan taqsim langan tasodifiy m iqdorning dispersiyasi ct2 teng ekan.