Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

K slatm a Agar g o ‘smaydigan funksiya b o‘lsa, u holda

Endi bir nechta tasodifiy miqdor funksiyalarini qaraymiz. Taqsimot funksiyasining ta ’rifiga asosan g ( ^ ,,§ 2) tasodifiy

miqdorning taqsimot funksiyasi
f ^ U j ) ( * ) = > $ 2 ) < z ) = / ’ ( { c o : g ( ^ ( ® U 2 ( c o ) ) < * } ) .
Masalan, ^ va bogiiqsiz tasodifiy m iqdorlar va f l2
zichlik funksiyalariga ega bo‘lsa, u holda

Z	1

—oo 00
Oxirgi tenglikni differensiallab,

co
„ ( * ) =f / Sl ( z - y ) f t 2 ( y ) d y ,

—00

00 (*)

/„(*) = J f ^ { z - x ) f ^ { x ) d x

—00
tengliklarni hosil qilamiz.

64

1-misol. Agar £, va o'zaro bog‘liq boim agan va [0,1] da
tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorlar b o isa, u holda r| = B)l +^ 2 uchun

	0			1	z
f n (?) =	I Ai (z -	x ) f kj (x ) dx = J/ 52 ( Z -			x) dx = J f l2 (>>) dy
	-OO			0	z - 1
boiadi.
Aytaylik, 0 < z <		1 bo lsin , u holda
		0		Z	^ =2 .
	/t, («) = j /«2 (>') dy +J/«2
agar 1 < z < 2 b o isa,
	/„(*) = J			= J dy = 2 - z .
		z-1		i- l
Shunday	qilib,
			0,	agar	[0, 2];
	/ „ ( z ) H		Z,	agar Z e [0,1];
			[2- 2,	agar	[1, 2].

2-misol. Endi ^ tasodifiy miqdor (a, , a f ) param etrli, E,n taso­ difiy miqdor (a2 , a \ ) parametrli normal qonun bilan taqsim lan­ gan holni ko‘raylik.
Agar
cp(x) =

standart normal qonun zichlik funksiyasi b oisa,

bo‘ladi va (*) formula yordamida

X-(ai+02)

CT^ +<^2 _J

topiladi.
Demak, (flj.o J) va (a 2, a 2) parametrli normal qonun bilan taqsim langan ikkita bogiiqsiz tasodifiy m iqdorlar yig‘indisi, (a, + a 2 ,a f + a 2) parametrli normal qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor bo‘lar ekan.

0 ‘z -o‘zini tekshirish uchun savollar

Diskret tasodifiy miqdor nima? Misollar keltiring.
Uzluksiz tasodifiy miqdor nima? Misollar keltiring.
Ehtimollikning taqsimot qonuni deb nimaga aytiladi? Misollar keltiring.

Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deb nimaga ayti­

ladi?
Taqsimot funksiyasi ning asosiy xossalarini aytib bering.
6. Taqsimot funksiyasini ham diskret, ham uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ta ’iiflash mumkinmi yoki faqat diskret yoki faqat uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun ta’riflash mumkinmi?
Tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi deb nimaga aytila­ di? Bu funksiyaning ehtimoliy m a’nosi qanday?
. Diskret tasodifiy miqdor uchun zichlik funksiyani ta'riflash mumkinmi?
Zichiik funksivasining asosiy xossalarini aytib bering.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi bilan taqsi­ mot funksiyasi o'zaro qanday boglangan?

Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor uzluksiz yoki diskret b o ia oladimi?

Ko‘p oichovli tasodifiy miqdorlar deb nimaga aytiladi?
Ikki oichovli tasodifiy miqdorlar deb nimaga aytiladi?

66

Misol va masalalar
Q utida bir xil o‘lchamli 7 ta shar b o ‘lib, 4 tasi oq, qolganlar esa qora rangda. Sharlar bir-xil o'lcham li. Qutidan tavakkaliga

3 ta shar olinadi. E, diskret tasodifiy m iqdor —olingan oq sharlar soni bo'lsa, E, diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping.

Javob: ^: 0 1 2 3

_R — 11 i i —
35 35 35 35
2. £ diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:
Javob: \: 2 4 6

R 0,2 0,3 0,5
r| = 4S, tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping. Javob: E, : 8 16 24
0,2 0,3 0,5
3. § diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:

^	7T	7T	7T
Javob: E, :	6	4	2
P.	0,2	0,7	0,1

r| = sin£ tasodifiy miqdorning taqsim ot qonunini toping.

Javob: t, : ^ -y- 1
0,2 0,7 0,1
4. £, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan:
0, agar x < 2,
0,3, agar 2 < x < 3,

F (x ) = ,

0,5, agar 3 < x < 4,
[1 , agar x > 4.
{1 < %< 3} hodisaning ehtimolligini toping.
Javob: P{\ < 3} = 0,5.

67

\ uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi butun Ox
o'qida

f t \

2C

tenglik bilan berilgan. 0 ‘zgarmas Cparam etm i toping.

Javob: C = —.

n
6. Bir soat (0< t< 1, t birligi soatlarda hisoblangan vaqt) ichida bekatga faqat bitta avtobus kelib to ‘xtaydi. Vaqtning f=0 mo-mentida bekatga kelgan yo‘lovchining avtobusni 10 minutdan or­ tiq kutmaslik ehtimolligi qanday?
Javob:

6
Avtobuslar 5 minut oraliq bilan qatnaydilar. Bekatda avto­ bus kutish vaqti c, tekis taqsimlangan deb, Fix) taqsimot funksiya­ sini toping.

[ 0 , agar x < 0,
Javob: F( x) = •{0 ,2 x , agar 0 < x < 5,
'[1, agar x > 5.
8. £, uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi berilgan

f 0,	agar	x < 0,
f ( x ) = ^ bx,	agar	0 < x < 2,
^ 1,	agar	x >2.

h ni aniqlang.
Javob: b —0,5.
I clevizorning buzilmay ishlash ehtimolligi ushbu ko‘rsatkichli qonun bo'yicha taqsimlangan: / (x) = 0, 002e~°’°02' (t > 0).

I clevi/.orning 1000 soat buzilmay ishlashi ehtimolligini toping. Juvoh: /*( 1000) - e 2 *0,1359 .

68

10. 10 ta bir xil kartochkada 0, I Q __ , .

Bitta kartochka olinib, u k a rto c h k a la rt^ ’V’ : c \ ^OZ' gan'

u 1 ^ i I v .• , «. A-r * piamiga qaytanladi^.Keyin

yana bitta kartochka otmadi. ? tasodifiy m iqdor _ bjrinohi

kadag, raqam va r, tasodifiy miqdor - ,k kinchi totttKhkubgi
D O l , b C = E, bo Ism 5 , ? v a r tasodifiy m i q d o r l a r n j ^

qonUDlarmi toping. « C < 2) hodisa c h |1Ir:0|,lgini toping

Javob:
P & = i) = 0,1, 1 = 0 ,1 , ... ,9 ;
P ( t i = 0 = 0 , 1 , / = 0 , 1 ......... 9 ;
= 0 = 0,01, / = 0,18; P(C, - i j _ q Q2^ z- _ j j y .
/>fc = 0 = 0 ,0 3 , i = 2,16; = *‘) - 0,04,' / = 3, 15-
= 0 = 0,05, i = 4,14; P ( ^ i ) = 0 \06’ , = 5j 3!
/» (; = 0 = 0 ,0 7 , i = 6,12; />(C = f) = 0 ,0 8 , / = 7,11;
/>(? = 0 = 0 ,0 9 , <= 8,10; />(<; = i) = 0 J i = 9; /> (C < 2) = 0,06.
II bob bo‘yicha test U>pshiriq,ari
1. Qutida 10 ta shar bor U lar orasida 8 ta oq shar qoi !ari
qora shar. Tavakkaliga 2 ta shar ol.nga„ olingan sharlar orasidagi oq sharlar sonining taqsimot qonuninj tuZirig

A )	4:	0	1	2
	D-	1	16	28
		45	45	45
B)		0	1	2
	P	9/16	6/16	1/16
C)	4=	0	1	2
	P:	3/6	2/6	1/6
D)	?•	0	1	2
	*3*
		1/2	1/2	1/2

69

2. £ tasodifiy m iqdor ushbu taqsimot qonuniga ega:

—2	1		4
0,5	0,35		0,15
Uning taqsim ot funksiyasini toping.
	0 ,	agar		x < - 2	boisa,
	0,5,	agar		- 2 < x < l		b o isa,
	0,85,	agar		l < x < 4		b o isa,
[	1,	agar		x > 4	b o isa

0; x < 1,

j 0,3; 1 < x < 4,

^{F ( x ) =} 10,4; 4 < x < 8, [1; x > 8.

	0,	x = 1,
C) F( x)	,0,3,	x = 4,
	'0,4,	x	= 8,
	[1,	x	> 8.
	0;	x < 1,
D)	0,1; 1 < x < 4,
	0,2;	1 < x < 4,
	[0,4;	4 < x < 8.

3. £, tasodifiy miqdor ushbu taqsim ot funksiyasiga ega:

		0,		agar x < 2 b o isa,
	F ( x ) = {	y ,	agar	2 < x < 4	b o isa,
	[	1,	agar	x > 4	b o isa .
Ushbu P(3 < ^ < 3,5) ehtimollik qiymatini toping
A) 0,25	B) 0,27		C) 0,32		D) 0,31.

70

Ikkita o‘yin kubigi bir vaqtda 2 marta tashlanadi. X diskret tasodifiy miqdor ikkita o‘yin kubigida toq ochkolar tushish soni-ning binomial taqsimot qonunini yozing.

A) $:

0

1 2

1/61/6 1/6

01 1
9/16 6/16 1/16

C)	5:	0	1	2
	P.	3/6	2/6	1/6
D)	£:	0	1	2
	P.	1 / 2	1 / 2	1 / 2

5. £, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan:

0, x <, —1,
F(x) = - 1 < x < 3,
1, x > 3.
Tajriba natijasida 4 tasodifiy miqdorning (0;2) intervaldagi ehti­ molligini aniqlang.

B)	C)	i	D) 1.
	’	4

6. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan:

0, x < -3,
F ( x ) H j ( x + 3 ) \ - 3 < x < 0,
1, x > 0.
Shu tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi /(x) ni toping.
o, x < -3,
f ( x ) = \ | ( x + 3), - 3 < x < 0, 1, x > 0.

71

	0,	x	< -3,
B) / ( x ) H l ( x	+ 3)2,	-	3 < x < 0 ,
[	1,	x	> 0.
	0,	x < -3 ,
C) / ( x ) H | ( x	+ 3)2,	-	3 < x < 0,
I	1,	x	> 0.

0 , x < - 3 ,

D) / ( x ) = ^ ( * + 3), - 3 < x < 0,

_1.x > 0.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan: