Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

A)	S 2 =	3,075	C) S2 =
2,075
B)	S 2 =	3,751	D) S2 =	3,775.

179

n = 51 hajxnli tanlanma bo'yicha bosh to'plam dispersiyasi-ning DT — 5 siljigan bahosi topilgan. Bosh to'plam dispersiyasi-ning siljimagan bahosini toping.

A) £2	=	5,1	C) S2 = 2,3
B) S2	=	3,7	D) S2 = 3,4.

n = 100 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo'yicha tanlanma dispersiyasini toping.
x,: 340 360 375 380
20 50 18 12
167,29B) 162,56C) 165,35D) 156,26.
n — 50 hajmli tanlanmaning berilgan taqsimoti bo'yicha tanlanma dispersiyasini toping.

	X/i	0,1	0,5	0,6	0,8
		5	15	20	10
A) 0,32	B) 0,36		C)	0,52	D) 0,33.

Bosh to'plamning normal taqsimlangan X belgisining noma’lum a matematik kutilmasini 0,95 ishonchlilik bilan baho­ lash uchun ishonchlilik intervalini toping. Bosh to'plam o'rtacha
kvadratik chetlanish a = 5, tanlanma o'rtacha qiymat x =14 va tanlanma hajmi n = 25 berilgan.

A)	12,04	<	a <	16,96	C) 12,34 < a < 16,46
B)	12,14	<	a <	16,56	D) 12,54 < a < 16,76.

Tanlanmaning shunday minimal hajmini topingki, bos to'plamni a matematik kutilmasining tanlanma o'rtacha qiymat bo'yicha bahosining aniqligi 0,925 ishonchlilik bilan 0,2 ga teng bo'lsin. Bosh to'plamning o'rtacha kvadratik chetlanishi ma’lum: o = 1,5.
n = 178 B) n = 189 C) n = 179 D) n = 183.

180

Ehtimolliklar nazariyasining matematik fan sifatida yuzaga kelishi tarixidan lavhalar
Ehtimolligiklar nazariyasi fan sifatida shakllanishini bu soha-ningyirikmutaxassislari, akademiklar A.N.Kolmogorov, B.V.Gnedenko, Yu.V.Proxorov, S.H.Sirojiddinov, A.N.Shiryaevlar, asosan, quyi­ dagi bosqichlarga boladilar:
Qadimgi davr (ehtimolliklar nazariyasi yuzaga kelishigacha o‘tgan davr).

Birinchi bosqich (XVII—XVIII asr boshi).
Ikkinchi bosqich (XVII1—XIX asr boshi).
Uchinchi bosqich (XIX asr ikkinchi yarimi).
To‘rtinchi bosqich (XX asr boshi va o'rtasi).
Qadimgi davr
Tasodifiylik to‘g‘risidagi birinchi tasawurlar (kishi taqdiriga oid munosabatlar, faslning issiq yoki sovuq kelishi, janjalli masalalar natijalarini oldindan ayta bilish, sayyoralar harakatlarining holat-lari —munajjimlik va boshqalar) asrlar boshiga borib taqaladi. Bu tasawurlar ilmiy jihatdan asoslanganligiga o‘tgan davrda inson aqli tomonidan inkor etib bolmaydigan holatlarga tegishli bolib, ularga oxirgi bir necha asrlar davomidagina ilmiy ma’no berildi, xolos.
Birinchi tasodifiyliklar asboblari — qimor o‘yinlari oshiqlari haqida ko‘pgina arxeologik ma’lumotlar mavjud. Ularga moslanib bu oshiqlar qadimgi Misrning birinchi sulolasi davrida (miloddan 3500 yil ilgari) qadimgi Yunon va Rim imperiyalarida qimor o'yinlari uchun asbob bo‘lib xizmat qilganini aytib o‘tish mum­ kin. Masalan Rim imperatorlari Avgust (mil. aw. 63 yil — mi-lodiy 14 yil) va Klavdiy (mil aw. 10 yil - milodiy 54 yil) «oshiq» o‘yinining eng ashaddiy muxlislari bolganlar.
Qimor o'yinlaridan tashqari, foydali va ziyonli imkoniyatlar bilan bogiiq boigan tasodifiyotlar savdo-sotiq, sug‘urtalash so-halarida qadimgi davrlardayoq yuzaga kelgan.

181

Masalan, Qadimgi Bobil (Vavilon) davlatchiligiga oid yozuv-larda miloddan awalgi 4—3 ming yilliklar sug'urta uchun kon-trakt (kelishuv) asosiy hujjat bo‘lib hisoblangan. Bu yozuvlaming ko‘pchiligi dengiz orqali yuk tashish moslamalariga tegishli bo‘lgan. Sug‘urtaning kontrakt shakllari fmikiylar orqali yunonlarga, rim-liklarga va hindularga o‘tgan.
Ular qadimgi Rim imperiyasi davlat va madaniyat kodekslari-da, Vizantiya imperiyasi qonunlarida o‘z akslarini topgan. Masa­ lan, Rim imperiyasi davrida Yuriy Ulpian (mil. aw. 220 yil) kishi hayoti sug‘urtasiga oid xatolarni o‘rganib, birinchi marta «o‘lim jadvalini» tuzgan.
Italiya shaharlari-respublikalari (Rim, Venetsiya, Genuya, Piza, Florensiya) gullab yashnagan davrda sug‘urta faoliyati bilan bog‘liq statistik ma’lumotlarni yig‘ish va o‘rganish zaruriyati yuzaga kel-gan. Tarixiy ma’iumotlardan ma’lumki, kishi hayoti sug‘urtasi haqidagi kuni aniq belgilangan kontrakt 1347-yilda Genuyada manfaatdor shaxslar tomonidan tuzilgan.

G‘arbiy Yevropa «Uyg‘onish» davrida (XIV asr oxiri — XVII asr boshi) aytib o'tilgan shahar-respublikalar ijtimoiy va madaniy hayotda ro‘y bergan ulkan islohotlarda muhim rol o‘ynadilar. Xususan, shu davrda falsafiy ilmlarda «ehtimollik» tushunchasi shakllana boshlangandi. Bu jarayonda italyan matematiklari Luki Pacholi (1445-1517), Ch.Kalkanini (1479-1541), N.Tartali (1500—1557) va boshqalaming faoliyati sezilarli iz qoldirgan.
Qimor o‘yinlarida ro‘y berishi mumkin bo‘lgan imkoniyatlami matematik nuqtayi nazardan tahlil qilish bilan birinchilar qatori-da shug‘ullangan mashhur ixtirochi Dj. Kardano (1501—1576) bo‘lgan. Ma’lumki, uning texnika sohasida «Kardan vali»ni ixtiro qilishi va matematikada uchinchi darajali tenglamalarni yechish uchun topgan «Kardano formulalari» uning fan tarixida o‘chmas iz qoldirganini bildiradi. Dj.Kardano vafotidan keyin bosilgan «Qimor o'yinlari haqidagi kitob» asari bu o‘yinning ishqibozlari uchun ajoyib qo‘llanma bo‘lib xizmat qilgan. Bu asrlarda kombi-natorika g‘oyalaridan foydalanilgan va bemalol aytish mumkinki, u ehtimollikning hozirgi zamonda ishlatiladigan «klassik» ta’rifiga juda yaqin bo‘lgan.

182

Birinchi bosqich (XVII asr — XVIII asr boshi).
Juda ko‘pchilik matematiklar fikricha (xususan mashhur fransuz matematigi P.Laplas), hozirgi zamon «ehtirnolliklar nazariyasi»ning yuzaga kelishi XVII asrda yashab ijod qilgan taniqli fransuz mate-matiklari B.Paskal (1623—1662) va P.Ferma (1601—1665) orasi-da olib borilgan «ehtimolliklar hisobi» nomi bilan mashhur boigan yozilmalardan boshlanadi. Bu yozilmalar esa o‘sha davrda taniqli shaxs boigan Anton Gotvaud (kavaier de Mere, yozuvchi, targlbotchi, 1607—1684) tomonidan B. Paskalga qo‘yilgan ba’zi savollarga asoslangan. Xususan, bu savollardan birida ma’lum bir sabablar bilan qimor o‘yini to‘xtatilsa, yutuqlarni qanday taqsim etish kerakligi masalasi qo'yiladi. Oxirgi jumlani quyidagicha kon-kretlashtirish mumkin. Aytaylik, A va fio ‘yinchilar kelishib olish-dski, kim birinchi bolib 5 ta partiyada g'olib boisa, unga hamma o‘yin stavkasi (bahosi) beriladi. Masalan, 1984-yilda shaxmat bo'yicha jahon chempioniigi uchun o‘tkazilgan Karpov-Kasparov matchida kim birinchi bolib 6 ta partiyani yutsa chempion deb e’lon qilinishiga kelishib olingan. Bunda durrang natijalar hisobga olinmaydi va partiyalar soni chegaralanmaydi.