Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

* * *

■^1 ; ‘‘’ Xn

variatsion qator deyiladi.

144

tanlanm a to ‘plam dagi x(, /—1,2,...,/j lar va ria n ta la rdeyiladi. A gar tanlanm ada x, varianta n x m arta, x2 varianta n2 m arta,

xk varianta nk m arta (bu yerda «, + n2 + ..... + nk = n ) kuzatilgan
b o ‘Isa, u holda
nx ,n 2 , ... ,nk
sonlar chastotalar,
w . =^L (i = l , 2 , . . . , k )
sonlar esa nisbiy chastotalar deyiladi. Ravshanki,
bo'ladi.
T anlanm aning statistik yoki empirik taqsimoti deb variantalar va ularga m os chastotalar yoki nisbiy chastotalardan iborat ushbu jadvalga aytiladi:

'*1	X ,, x2 ,	x* N	' Xj x ,, x2,..., xk '
A	nx, n2 , .	nk / yoki	wk ,

1-misol. T anlanm a chastotlarining em pirik taqsim oti berilgan:
x, : - 1 0 1 2
/i, : 2 4 6 8
N isbiy chastotalam i toping.
Yechish. n = «, + n2 + + n4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20;

W i = s	= ° ’ 1; wi = i a = 0 '2 ’'				h,4 = b = ° ’4 -
	x(. :	- 1	0	1	2
	w, :	0,1	0 ,2	0,3	0, 4
Shu	bilan birga 0 ,1 + 0 ,2 + 0 ,3 + 0 ,4 = 1 .

Ta’rif. Tanlanm aning empirik taqsim ot funksiyasi deb x ning har bir qiymati uchun quyidagicha aniqlangan F*n (x ) funksiyaga aytiladi:

bunda nx — x qiym atdan kichik b o ‘lgan variantalar soni; n tanlanm aning hajmi.

145

Tanlanm aning em pirik funksiyasidan farqli bosh to ‘plam uchun aniqlangan ushbu F(x) funksiya nazariy taqsimot funksiyasi deb ataladi. Em pirik va nazariy taqsim ot funksiyalar orasidagi farq shundaki, F{x) nazariy taqsim ot funksiya {X < x} hodisa ehtim ol-hgini, F*(x) em pirik Taqsimot funksiya esa shu hodisaning nis­ biy chastotasini aniqlaydi. Bernulli teorem asidan kelib chiqadiki, {X < x} hodisa nisbiy chastotasi, ya’ni F*(x) shu hodisaning FXx) ehtimolligiga ehtim ollik bo'yicha yaqinlashadi. Boshqacha so‘z bilan aytganda F*{x) va F(x) funksiyalalar bir-biridan kam farq qiladi. Shu yerning o ‘zidanoq, bosh to'plam taqsim otining nazariy funksiyasini taqribiy tasvirlashda tanlanm a taqsim otining empirik funksiyasidan foydalanish maqsadga muvofiq bo‘lishi kelib chiqadi.

Yuqoridagi m ulohazalardan, quyidagi teorem aning o ‘rinli ekani­ ni ko‘rish qiyin emas.
1-teorema. Biror E, tasodifiy m iqdorning taqsim ot funksiyasi Fix) b o ‘lsin, bu tasodifiy m iqdor ustida o'tkazilgan « ta o ‘zaro bog‘liq b o ‘lmagar. kuzatishlar natijalarining empirik taqsimot funk­ siyasi F*(x) b o ‘lsin. U holda ixtiyoriy x ( - * < x < +<») va ixti­ yoriy e > 0 uchun
lim / >( |/ ’* ( x ) - / ’(x)l < e) = 1.

/?-> cc

7

Dem ak, agar tanlanm a hajm i katta bo‘lsa, em pirik taqsim ot funksiyasining x nuqtadagi qiym atini, nazariy taqsim ot funksiya-ning shu nuqtadagi qiymati uchun baho sifatida qabul qilinishi m um kin ekan.

2 -teorem a (Glivenko-Kantelli). Biror £, tasodifiy m iqdorning nazariy taqsim ot funksiyasi J F ( X ) va em pirik taqsim ot funksiya