Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

p & = k ) = f i k - c : r ‘ < r* =
k=1 *=0
n p f j C k: i p k- xq n- k= n p ( q + p)*~l= «■ p. k=0

105

3-misol. Puasson qonuni bilan taqsim langan tasodifiy m iqdom -
ing m atem atik kutilmasini toping.

} m

Yechish. P(t, = m) = , m = 0 ,1 ,2 ,... tenglik o'rinli eka-
ni bizga m a’lum .
Uning taqsim ot qonunini ushbu jadval ko‘rinishida yozamiz.

X,	0	1	2	...	m
	e~k			<\ m
Pi			2 !	V	1
				m l

M atem atik kutilmasi uchun quyidagiga ega bo'lam iz:

j-tyn	- x	1	X	-Xn	X 2	_ ?	Xm	- X	+.,
El, = 0- e		+ b	- e	A+ 2	- — e		'+ ... + m —- e
					2 !		m\
	= Xe^- i		f	i 2			^m-1
				A,			A
				+ X + —- + ... + -----T—+ ...
				i\			(w-l)!

Qavs ichidagi qator e"- funksiyaning M akloren qatoriga yoyilma-sidir. Shuning uchun matematik kutilma E^'—X. Shunday qilib, biz Puasson taqsimot qonuniga kiiganX parametming ehtimolliy ma’nosini topdik: X parametr tasodifiy miqdorning matematik kutilmasiga teng. uzluksiz tasodifiy m iqdorning zichlik funksiyasi p(x) bo‘lsin.

2 - ta ’rif. Uzluksiz tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasi deb, ushbu

oo
E ^ = J"x- p (x )d x	(2)

—oo
integralga (agar bu integral absolut yaqinlashuvchi bo‘isa) aytiladi. 4-misol. (a,a2) param etrli norm al qonun bilan taqsimlangan

\ tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasini toping. Yechish. Ta’rifga asosan
(*-“)2 00 (X-“f

D em ak, (a ,a 2) param etrli norm al qo n u n bilan taqsim langan tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilm asi a param etrga teng ekan.

5-misol. \a,b\ oraliqda tekis taqsim langan £, tasodifiy m iqdor­ ning m atem atik kutilm asi quyidagicha topiladi:

E t,= f x - 0 */x +	fx	—— d x +		1	c	X	. b >	b+a
			[x -O rfx = —!—■			2		2
J	J	b - a	J	b - a	V		a
-oo	a		b

6-misol. p. param etrli eksponcnsial qonun b o ‘yicha taqsim lan ­ gan ^ tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasi:
0 +00
EE, = J x - 0 d x + | x - \ie~iUcdx -

-oo 0
+oo

x - ( - e ~ MX) | r + J e - ^ J x = ( - i e ^ ) o
+<» i
M-

3 -ta ’rif. T aqsim ot funksiyasi F(x) b o lg a n tasodifiy m iqdorn -
00
ing m atem atik kutilm asi E% = J x d F (x ) kabi aniqlanadi.
—co
Tasodifiy m iqdorlarning m atem atik kutilm asi ham m a vaqt ham m avjud bolaverm asligini eslatib o la m iz . M asalan, tasodifiy m iq ­ dor Koshi qonuni bilan taqsim langan b o ‘lsin. U holda uning zichlik funksiyasi

p ( x ) =
k o lin ish d a b o ‘ladi va
J x p (x )d x
integral m avjud b o ‘lm aydi.
Matematik kutilmaning ehtimollik m a’nosi.
£, tasodifiy m iqdor ustida n ta bogiiqsiz tajriba o ‘tkazilgan bo lsin .
T ajriba natijalari ushbu jadvalda keltirilgan:

107

E,: x, x 2 ... x k
n : n, n2 ... nk
Yuqori satrd a^ m iqdorning kuzatilgan qiym atlari, pastki satrda esa mos qiym atlarning chastotalari ko‘rsatilgan, ya’ni w, son nx ta lajribada E, m iqdor x x ga teng qiym at qabul qilganligini bildim di va hokazo.
orqali kuzatilgan barcha qiym atlarning o ‘rta arifm etigini belgilaylik, u holda,

		y	X j r tj + X 2 « 2 + +x k ' x k
		X =	---------------------------	n
yoki
T7	tl\	It')	Hi-	*	*	*
X = x x ■-L + x2			+ xk ■-?- = x { ■p { + x 2 - p2 ...+ + x kp k .

Bu yerda p p * 2 ,..., pk — m os ravishda x i5 x2, ..., x* qiym atlarning nisbiy chastotalari. T ajribalar soni, yetarlicha _katta b o ‘lganda

p\ « p x, p*k « pk b o ‘ladi. Shuning uchun X & EE,, ya’ni E, tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasi uning kuzatiladigan qiy­ m atlari o ‘rta arifm etigiga taqriban teng.
M atem atik kutilm a quyidagi xossalarga ega:
1-xossa. O 'zgarm as sonning m atem atik kutilm asi shu sonning o ‘ziga teng.
Isbot: c o ‘zgarm as sonni faqat bitta c qiym atni 1 ehtim ollik bilan qabul qiluvchi tasodifiy m iqdor deb qarash m um kin. S hu ­ ning uch u n Ec = c ■ 1 = c.
2-xossa. \EE\tengsizlik o ‘rinli.
Bu xossaning isboti m atem atik kutilm aning la ’rifidan bevosita kelib chiqadi.
3-xossa. Z%, Er\ va E(E, + rj) larning ixtiyoriy ikkitasi m avjud b o ‘lsa, u holda ushbu E (E, + r\) = EE, + Er\ tenglik o 'rin li b o ‘ladi.
Isbot. Isbotni diskret hoi uchun keltiramiz. Faraz qilaylik, E, ta ­ sodifiy m iqdor x,, x2, ..., xk, ... qiym atlarni m os ravishda p x, p2,
pk, ... ehtim olliklar bilan, rj tasodifiy m iqdor esa y {, y 2, y

108

qiym atlarni m os ravishda qx, q2, ... qk, ... ehtim olliklar bilan qabul qilsin, u h o ld a ^+ri yig‘in d in in g q abul qiladigan q iy m atlari
{xt ( k = 1, 2 ,.., / = 1, 2...) ko‘rinishdagi sonlardan iborat. pk / orqali £ ning xk va r) ning y t qiym atlarni qabul qilish eh ti­
m olligini belgilaym iz. U holda to ‘la ehtim ollik form ulasiga asosan
ac no ( x > \ c c ( C O \

Ek +r\)=JJ(xic+yi)Pk,i='Zxi‘ 'T.Pv +I>l2>,/ r

k , l =1 k I V / 1 ) 1=1 v*=! J
00
Zy xkPk + Z > w / = Ei>+ Er]-

k=1 /=1
1-natija. ^ ,£ 2 tasodifiy m iqdorlar yig‘indisining m ate ­ m atik k u tilm asi shu tasodifiy m iqdorlar m atem atik kutilm alari-
ning yig‘indisiga teng, ya’ni E
V*=i y k=l
4-xossa. 0 ‘zgarm as so n n i m atem atik k u tilm a ishorasidan tashqariga chiqarib yozish m um kin: Ec% = cEt, , c = co n st.
Isbot. Isbctni diskret va uzluksiz tasodifiy m iqdorlar uchun alohida -alohida keltiram iz.

1-t.a’rifdan va ( 1) dan foydalanib, diskret tasodifiy m iqdor uchun ushbu

E ( A ) = X cxiPt = CX x iPt = cE^

i=i ;=I
natijani hosil qilamiz.

(2) form ulaga asosan uzluksiz tasodifiy m iqdorlar uchun ushbu
oo oo
E (c^ ) = J cx p (x )d x = c | x p (x )d x = cE^.
—oo —oo
5-xossa. £, va r| tasodifiy m iqdorlar o ‘zaro bog‘liq b o ‘lmasin. Agar ££, va Er\ m avjud b o ‘Isa, u holda E£,r\ m avjud b o ‘ladi va
E ly i = El, - Er| .

Isbot. Faraz qilaylik, £, tasodifiy m iqdor x x, x2, ..., xk, ... qiy­ m atlarni m os ravishda p x, p2, p k, ... ehtim olliklar bilan, r\ taso ­ difiy m iq d o r ^ , y 2, ..., y k, ... qiym atlarni m os ravishda q x, q2, ...
qk, ... ehtim olliklar bilan qabul qilsin.
£, va r| tasodifiy m iqdorlar o ‘zaro bog'liqsizligidan £, • r\ tasodi­ fiy m iqdor x, ■ ko‘rinishdagi qiym atlarni pflj ehtim ollik bilan qabul qiladi, natijada

= X W P ($ = x i ’1\ = y j ) = T i W j P r f j =

1 J
= E<^Ex\.

teorem aning teskarisi doim ham to ‘g‘ri emas, ya’ni ££;r| = • £Y|

ekanligidan £, va r| ning o'zaro bog'liq b o ‘lmasligi kelib chiqm aydi.